最近在帶本科畢設(shè)，要幫忙推導(dǎo)畢設(shè)的理論部分，也乘機(jī)把基礎(chǔ)的基礎(chǔ)補(bǔ)一補(bǔ)。雖然力學(xué)學(xué)了很多年，但是每每被問(wèn)及基本概念、基本理論的時(shí)候，總是模糊，真是汗顏！

        彈性理論基礎(chǔ)

一、彈性介質(zhì)的概念。

    產(chǎn)生彈性形變的介質(zhì)叫彈性介質(zhì)。

（一）各向同性介質(zhì)和各向異性介質(zhì)

      對(duì)彈性介質(zhì)，如果沿不同方向測(cè)定的物理性質(zhì)均相同，稱各向同性介質(zhì)，否則是各向異性介質(zhì)。

（二）均勻介質(zhì)、層狀介質(zhì)

    若介質(zhì)的彈性性質(zhì)不僅與測(cè)定方向無(wú)關(guān)，而且與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，就稱為均勻介質(zhì)；

      非均勻介質(zhì)中，介質(zhì)的性質(zhì)表現(xiàn)出成層性，稱這種介質(zhì)為層狀介質(zhì)；其中每一層是均勻介質(zhì)；不同介質(zhì)層的分界處稱界面（平面或曲面）；兩個(gè)界面之間的間隔稱為該層的厚度。

（三）連續(xù)介質(zhì)

    將速度v是空間連續(xù)變化函數(shù)的介質(zhì)定義為連續(xù)介質(zhì)。連續(xù)介質(zhì)是層狀介質(zhì)的一種極限情況。即當(dāng)層狀介質(zhì)的層數(shù)無(wú)限增加，每層厚度無(wú)限減小，層狀介質(zhì)就過(guò)渡為連續(xù)介質(zhì)，如 v=v₀ (1+bz)叫線性連續(xù)介質(zhì)。

（四）單相介質(zhì)和雙相介質(zhì)

    只考慮單一相態(tài)的介質(zhì)稱單相介質(zhì)，由兩種相態(tài)組成例如一種是固相一種是流相的，稱為雙相介質(zhì)。

二、彈性模量

（一）應(yīng)力與應(yīng)變

    1.應(yīng)力：彈性體受力后產(chǎn)生的恢復(fù)原來(lái)形狀的內(nèi)力稱內(nèi)應(yīng)力，簡(jiǎn)稱為應(yīng)力。 應(yīng)力和外力相抗衡，阻止彈性體的形變。對(duì)于一個(gè)均勻各向同性的彈性圓柱體，設(shè)作用于s面上的法向應(yīng)力為N，若力f在s面上均勻分布，則應(yīng)力p_n定義為 Pn=f/s ，若外力f非均勻分布，則可以取一小面元△S,作用于小面元上的力為△f，則應(yīng)力定義為（缺公式）。因此應(yīng)力的數(shù)學(xué)定義為：?jiǎn)挝粰M截面上所產(chǎn)生的內(nèi)聚力稱為內(nèi)力。 根據(jù)力的分解定理，可以將力分解成垂直于單元面積的應(yīng)力—法向應(yīng)力（正應(yīng)力）；相切于單元面積的應(yīng)力—切向應(yīng)力（剪切應(yīng)力）。

    2.應(yīng)變：物理定義：彈性體受應(yīng)力作用，產(chǎn)生的體積和形狀的變化稱為應(yīng)變。只發(fā)生體積變化而形狀不變的應(yīng)變稱正應(yīng)變；反之，只發(fā)生形狀變化的應(yīng)變稱切應(yīng)變。數(shù)學(xué)定義：彈性理論中，將單位長(zhǎng)度所產(chǎn)生的形變稱應(yīng)變。

    3.應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系： 應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系的物體叫完全彈性體，虎克定律表示了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。對(duì)于一維彈性體，虎克定律為： F=kx； F: 外力；  x: 形變；  k: 彈性系數(shù)。對(duì)于三維彈性體，用廣義虎克定律表示應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。

（二）彈性模量

 1.楊氏彈性模量（E）

     表示膨脹或壓縮情況下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，所以又叫壓縮模量。數(shù)學(xué)定義：物體受脹縮力時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之比。物理定義：楊氏彈性模量表示固體對(duì)所受作用力的阻力的度量。固體介質(zhì)對(duì)拉伸力的阻力越大，則楊氏彈性模量大，物體越不易變形；反過(guò)來(lái)說(shuō)，堅(jiān)硬的不易變形的物體，楊氏彈性模量大。

 2.泊松比（s）

     在拉伸變形中，物體的伸長(zhǎng)總是伴隨著垂直方向的收縮，所以把介質(zhì)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比稱泊松比，顯然泊松比是表示物體變形性質(zhì)的一個(gè)參數(shù)，如果介質(zhì)堅(jiān)硬，，在同樣作用力下，橫向應(yīng)變小，泊松比就小，可小到0.05 。而對(duì)于軟的未膠結(jié)的土或流體，泊松比可高達(dá)0.45 —0.5。

 3.體變模量（K）

     設(shè)一物體，受到靜水柱壓力p 的作用，產(chǎn)生體積形變， △v/v,  其中v是物體的原體積， △v 是體積變化量。但形狀未發(fā)生變化。則在這種情況下的應(yīng)力與應(yīng)變的比稱為體變模量。體變模量表示物體的抗壓性質(zhì)，有時(shí)也稱為抗壓縮系數(shù)，其倒數(shù)稱為壓縮系數(shù)。

 4.剪切模量（m）

     指物體受剪切應(yīng)力作用，并發(fā)生形狀變化，應(yīng)力與應(yīng)變之比。m是阻止剪切應(yīng)變的度量。液體的m=0，沒(méi)有抗剪切能力。

 5. 拉梅常數(shù)（l）

     橫向拉應(yīng)力與縱向應(yīng)變之比。

以上五個(gè)彈性常數(shù)E, k ,s, m ,l,中的任一個(gè)，均可用其余兩個(gè)常數(shù)表示。