發(fā)表者：吳軍，Google 研究員

[注：一直關(guān)注數(shù)學(xué)之美系列的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，我們對(duì)任何問題總是在找相應(yīng)的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。為了說明模型的重要性，今年七月份我在 Google 中國內(nèi)部講課時(shí)用了整整一堂課來講這個(gè)問題，下面的內(nèi)容是我講座的摘要。］

在包括哥白尼、伽利略和牛頓在內(nèi)的所有天文學(xué)家中，我最佩服的是地心說的提出者托勒密。雖然天文學(xué)起源于古埃及，并且在古巴比倫時(shí)，人們就觀測(cè)到了五大行星（金、木、水、火、土）運(yùn)行的軌跡，以及行星在近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)比遠(yuǎn)日點(diǎn)快。（下圖是在地球上看到的金星的軌跡，看過達(dá)芬奇密碼的讀者知道金星大約每四年在天上畫一個(gè)五角星。）



但是真正創(chuàng)立了天文學(xué)，并且計(jì)算出諸多天體運(yùn)行軌跡的是兩千年前古羅馬時(shí)代的托勒密。雖然今天我們可能會(huì)嘲笑托勒密犯的簡單的錯(cuò)誤，但是真正了解托勒密貢獻(xiàn)的人都會(huì)對(duì)他肅然起敬。托勒密發(fā)明了球坐標(biāo)，定義了包括赤道和零度經(jīng)線在內(nèi)的經(jīng)緯線，他提出了黃道，還發(fā)明了弧度制。

當(dāng)然，他最大也是最有爭(zhēng)議的發(fā)明是地心說。雖然我們知道地球是圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的，但是在當(dāng)時(shí)，從人們的觀測(cè)出發(fā)，很容易得到地球是宇宙中心的結(jié)論。從地球上看，行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是不規(guī)則的，托勒密的偉大之處是用四十個(gè)小圓套大圓的方法，精確地計(jì)算出了所有行星運(yùn)動(dòng)的軌跡。（托勒密繼承了畢達(dá)格拉斯的一些思想，他也認(rèn)為圓是最完美的幾何圖形。）托勒密模型的精度之高，讓以后所有的科學(xué)家驚嘆不已。即使今天，我們?cè)谟?jì)算機(jī)的幫助下，也很難解出四十個(gè)套在一起的圓的方程。每每想到這里，我都由衷地佩服托勒密。一千五百年來，人們根據(jù)他的計(jì)算決定農(nóng)時(shí)。但是，經(jīng)過了一千五百年，托勒密對(duì)太陽運(yùn)動(dòng)的累積誤差，還是差出了一星期。


地心說的示意圖，我國天文學(xué)家張衡的渾天地動(dòng)說其實(shí)就是地心說。

糾正地心說錯(cuò)誤不是靠在托勒密四十個(gè)圓的模型上再多套上幾個(gè)圓，而是進(jìn)一步探索真理。哥白尼發(fā)現(xiàn)，如果以太陽為中心來描述星體的運(yùn)行，只需要 8-10 個(gè)圓，就能計(jì)算出一個(gè)行星的運(yùn)動(dòng)軌跡，他提出了日心說。很遺憾的事，哥白尼正確的假設(shè)并沒有得到比托勒密更好的結(jié)果，哥白尼的模型的誤差比托勒密地要大不少。這是教會(huì)和當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為哥白尼的學(xué)說是邪說的一個(gè)原因，所以日心說要想讓人心服口服地接受，就得更準(zhǔn)確地描述行星運(yùn)動(dòng)。

完成這一使命的是開普勒。開普勒在所有一流的天文學(xué)家中，資質(zhì)較差，一生中犯了無數(shù)低級(jí)的錯(cuò)誤。但是他有兩條別人沒有的東西，從他的老師第谷手中繼承的大量的、在當(dāng)時(shí)最精確的觀測(cè)數(shù)據(jù)，以及運(yùn)氣。開普勒很幸運(yùn)地發(fā)現(xiàn)了行星圍繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道實(shí)際是橢圓形的，這樣不需要用多個(gè)小圓套大圓，而只要用一個(gè)橢圓就能將星體運(yùn)動(dòng)規(guī)律描述清楚了。只是開普勒的知識(shí)和水平不足以解釋為什么行星的軌道是橢圓形的。最后是偉大的科學(xué)家牛頓用萬有引力解釋了這個(gè)問題。

故事到這里似乎可以結(jié)束了。但是，許多年后，又有了個(gè)小的波瀾。天文學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，天王星的實(shí)際軌跡和用橢圓模型算出來的不太符合。當(dāng)然，偷懶的辦法是接著用小圓套大圓的方法修正，但是一些嚴(yán)肅的科學(xué)家在努力尋找真正的原因。英國的亞當(dāng)斯和法國的維內(nèi)爾（Verrier）獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了吸引天王星偏離軌道的海王星。

講座結(jié)束前，我和 Google 中國的工程師們一同總結(jié)了這么幾個(gè)結(jié)論：
１.　一個(gè)正確的數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)在形式上是簡單的。（托勒密的模型顯然太復(fù)雜。）
２.　一個(gè)正確的模型在它開始的時(shí)候可能還不如一個(gè)精雕細(xì)琢過的錯(cuò)誤的模型來的準(zhǔn)確，但是，如果我們認(rèn)定大方向是對(duì)的，就應(yīng)該堅(jiān)持下去。（日心說開始并沒有地心說準(zhǔn)確。）
３.　大量準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)對(duì)研發(fā)很重要。
４.　正確的模型也可能受噪音干擾，而顯得不準(zhǔn)確；這時(shí)我們不應(yīng)該用一種湊合的修正方法來彌補(bǔ)它，而是要找到噪音的根源，這也許能通往重大發(fā)現(xiàn)。

在網(wǎng)絡(luò)搜索的研發(fā)中，我們?cè)谇懊嫣岬降膯挝谋驹~頻/逆文本頻率指數(shù)（TF/IDF) 和網(wǎng)頁排名（page rank)都相當(dāng)于是網(wǎng)絡(luò)搜索中的“橢圓模型”，它們都很簡單易懂。