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第一章 緒論
&1.隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)學(xué) 確定現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象 本人性別 生男生女 光的速度 學(xué)習(xí)成績(jī) 種豆得豆 （人的）反應(yīng)速度 隨機(jī)現(xiàn)象：具有以下三個(gè)特性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象 （i） 一次試驗(yàn)有多種可能結(jié)果，其所有可能結(jié)果是已知的。 （ii） 試驗(yàn)之前不能預(yù)料哪一種結(jié)果會(huì)出現(xiàn) （iii） 在相同條件下可以重復(fù)試驗(yàn) 隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的每一種結(jié)果叫做一個(gè)隨機(jī)事件。 隨機(jī)變量：把能表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量 統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性隨機(jī)變量的分布：(i)正態(tài)分布 eg:學(xué)習(xí)成績(jī) 圖（略） (ii)雙峰分布 eg::汽車擁擠程度 圖（略） (iii)另一種分布 eg:如下 圖（略） &2.總體和樣本 總體：是我們所研究的具有某種共同特性的個(gè)體的總和 樣本：是從總體中抽取的作為觀察對(duì)象的一部分個(gè)體。 (i) 總體：有限總體：總體所包含的個(gè)體數(shù)目有限時(shí) 無限總體：總體所包含的個(gè)體數(shù)目無限時(shí) →參數(shù)：總體上的各種數(shù)字特征 (ii) 總體→抽樣→ 樣本：大樣本：>30 >50 小樣本：≤30 ≤50（更精神） (樣本容量：樣本中包含的個(gè)體數(shù)目) →統(tǒng)計(jì)量：樣本上的數(shù)字特征 根據(jù)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)參數(shù) &3.心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容 1． 描述統(tǒng)計(jì)： 對(duì)已獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，概括，顯現(xiàn)其分布特征的統(tǒng)計(jì)方法。 集中量 平均數(shù) ＃ 描述 差異量 標(biāo)準(zhǔn)差S: S大：差異大/不穩(wěn)定 對(duì)個(gè)別 S小：差異小/穩(wěn)定 對(duì)個(gè)別 統(tǒng)計(jì) 相關(guān)量：相關(guān)系數(shù)（表示兩件事情的相互關(guān)系）r.r∈[-1,1](r表示從無關(guān)道完全相關(guān)，相關(guān)：正相關(guān)，相關(guān)，負(fù)相關(guān)) 2． 推斷統(tǒng)計(jì) 參數(shù)估計(jì)：＃→μ s→σ 推斷 r→р 統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)：參數(shù)檢驗(yàn) 非參數(shù)檢驗(yàn) 3． 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) ↓ 初級(jí)的，用平均數(shù)，百分比 ↓ 后來，平均數(shù) → T檢驗(yàn)（2個(gè)對(duì)象） 標(biāo)準(zhǔn)差 ↓ 中級(jí)的，（2個(gè)或2個(gè)以上對(duì)象）（方差分析）下檢驗(yàn)。 ↓ 高級(jí)的，相關(guān)回歸（用相關(guān)系數(shù)） ↓ 再高級(jí)的，（研究生學(xué)） 因素分析（探索性的）兩兩相關(guān)，寫相關(guān)系數(shù) ↓ 更高級(jí)的，協(xié)方差結(jié)構(gòu)方程（驗(yàn)證性的） 前程：相同符號(hào)的一串→非參數(shù)檢驗(yàn)中的一種 第二章 數(shù)據(jù)整理 &1.數(shù)據(jù)種類 一．間斷變量與連續(xù)變量 eg:人數(shù) ～ 間斷 二．四種量表。 1．稱名量表。 Eg:307室，學(xué)好，電話好嗎 不能進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算（也包括不能大小比較） 2．順序量表。Eg:名次。能力大小，不能運(yùn)算 3．等距量表?？梢赃\(yùn)算（做加減法），不能乘除 要求：沒有絕對(duì)0 年齡有絕對(duì)0 時(shí)間（年代，日歷。。。）位移無絕對(duì)0，可能有相對(duì)0，即有正負(fù) 4．等比量表。可做乘除法。 要有絕對(duì)零。 成績(jī)中的，0分不是絕對(duì)0（因?yàn)椴⒉徽f明此人一竅不通） 分?jǐn)?shù)代表的意義。Eg:0~10分 與90～100分。 每一分的"距離"不一樣 因?yàn)閲?yán)格來說，成績(jī)是順序量表。但為了實(shí)際運(yùn)用中的各種統(tǒng)計(jì)，把它作為等距量表 &2.次數(shù)分布表 一． 簡(jiǎn)單次數(shù)分布表 eg: 組別 次數(shù)（人次） 100 2 90～99 5 80～89 14 70～79 15 60～69 7 60分以下 3 1． 求全距 R=Max - Min(連續(xù)變量) （間斷變量）--R=Max－Min+1 2． 定組數(shù) K(組數(shù))＝1.87(N－1)。。。 →取整 N-總數(shù) 3． 定組距 I=R/K。一般，取奇數(shù)或5的倍數(shù)（此種更多）。 4． 定各組限 5． 求組值 X=(上限＋下限)/2 上限--指最高值加或取10的倍數(shù)等） 6． 歸類劃記 7． 登記次數(shù) 例題： 99 96 92 90 90 （I） R=99-57+1=43 87 86 84 83 83 82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。?！? 78 78 78 77 77 77 76 76 76 76 75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5 72 72 72 71 71 71 70 70 69 69 68 67 67 67 65 (iu)組別 組值 次數(shù) 64 62 62 61 57 95~99 97 2 90~94 92 3 85~89 87 2 80～84 82 6 75～79 77 14 70～74 72 11 65～69 67 7 60～64 62 4 55～59 57 1 總和 50 二． 相對(duì)（比值）次數(shù)分布表。 累積次數(shù)分布表 相對(duì)（比值）累積次數(shù)：累積次數(shù)值/總數(shù)N 注：一般避免不等距組（"以上""以下"稱為開口組） 相對(duì)次數(shù) 累積次數(shù)（此處意為"每組上限以下的人次）"小于制" .04 50 .06 48 .04 45 .12 43 .28 37 .22 23 .14 12 .08 5 .02 1 1.00 &3.次數(shù)分布圖 一．直方圖 1． 標(biāo)出橫軸，縱軸（5：3）標(biāo)刻度 2． 直方圖的寬度（一個(gè)或半個(gè)組距） 3． 編號(hào)，題目 4． 必要時(shí)，頂端標(biāo)數(shù)） 圖 二．次數(shù)多邊圖 1． 畫點(diǎn)，組距正中 2． 連接各點(diǎn) 3． 向下延伸到左右各自一個(gè)組距的中央 最大值即y軸最大值 相對(duì)次數(shù)分布圖，只需將縱坐標(biāo)改為比率。（累積次數(shù)，累積百分比也同樣改縱坐標(biāo)即可）"S形"曲線是正態(tài)分布圖的累積次數(shù)分布圖 圖 第三章 常用統(tǒng)計(jì)量數(shù) &1.集中量 一．算術(shù)平均數(shù) 公式 算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)。P36~37 算術(shù)平均數(shù)的特征。Σ（X-#）=0 離（均數(shù)）差 Σ（X-#）（X-#）取#時(shí)，得最小值 即：離差平方和是一最小值 二．幾何平均數(shù) ＃g= 略 long#g=1/NσlogXi 根據(jù)按一定比例變化時(shí)，多用幾何平均數(shù) eg: 91年 92 93 94 95 96 12％ 10％ 11％ 9％ 9％ 8% 求平均增長(zhǎng)率 xg= 加權(quán)平均數(shù) 甲：600人 #=70分 乙：100人 #=80分 加權(quán)平均數(shù)：＃=(70*600+80*100)/(600+100) (總平均數(shù))eg:600人，100人 簡(jiǎn)單平均數(shù)：（70＋80）/2 三．中（位）數(shù)。(Md) 1.原始數(shù)據(jù)計(jì)算法 分：奇、偶。 2．頻數(shù)分布表計(jì)算法（不要求） 3．優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)，適用情況（p42） 四．眾數(shù)（Ｍo） 1．理論眾數(shù) 粗略眾數(shù) 2．計(jì)算方法：Mo=3Md-2# Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I 計(jì)算不要求 3．優(yōu)缺點(diǎn) 平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)三者關(guān)系。 &2.差異量數(shù) 一．全距 R=Max-Min 二．平均差（MD或AD） MD={Σ|x-#(或Md)|}/N 三．方差 總體方差的估計(jì)值 S2 =Σ（X － #）2 反編 樣本的方差：σ2 x有編 N很小時(shí)，用S2 估計(jì)總體 N>30時(shí)，用S2 或σ2 x 都可以 計(jì)算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2 標(biāo)準(zhǔn)差σx＝σ2 x2/1 四．差異系數(shù)（CV） CV=σx/# *100% CV∈[5%,35%] 3個(gè)用途 五．偏態(tài)量與鋒態(tài)量（SK） 1.偏態(tài)量：sk=(#-Mo)/σx 動(dòng)差（一級(jí)~四級(jí)） a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3 三級(jí)動(dòng)差計(jì)算偏態(tài)系數(shù)） 2．峰態(tài)量：高狹峰 a4>0 (a4=0 --正態(tài)峰) 低調(diào)峰。A4<0 用四級(jí)動(dòng)差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3 &3.地位量數(shù) 一．百分位數(shù) eg 30=60(分) "60分以下的還有30%的人" 二．百分等級(jí) 30→60（在30％的人的位置上，相應(yīng)分?jǐn)?shù)為60） So→Md 第四章 概率與分布 &1．概率 一．概率的定義 W(A)=m/n (頻率/相對(duì)頻數(shù)) 后驗(yàn)概率： P(A)=lim m/n 先驗(yàn)概率：不用做試驗(yàn)的 二．概率的性質(zhì)和運(yùn)算 1．性質(zhì)：o≤P≤1 p=1 必然可能事件 p=0 不可能事件 2．加法。 P(a+b)=P(a)+P(b) "或"：兩互不相克事件和。 推廣："有限個(gè)" P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) eg:（1）A=出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過4（x≤4） P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3 (2)完全憑猜測(cè)做判斷題，（共2道），做對(duì)1題的概率為： A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5 3.乘法： P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An) Eg  1)四選1。（十道）完全憑猜測(cè)得滿分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410&2.二項(xiàng)分布 一．二項(xiàng)分布 P(x)=Cnxpxgn-x 做對(duì)的概率 px ：做錯(cuò)的概率 gn-x ：X:對(duì)的數(shù)量pxgn-x --每一種分情況的概率。一種情況：pxgn-x 再乘上系數(shù)。 Eg:產(chǎn)品合格率為90％ 取n=3（個(gè)） TTT的情況 90 * 90*90=P3 0.729 TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081 兩個(gè)合格的情況→ TTF FTT 其概率 C32P2g1=3p2g1. Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1 注：二項(xiàng)分布可能的結(jié)果只有兩種。F 0r T 合格 Or 不合格 選對(duì) Or 選錯(cuò) 例：（1）10道是非題，憑猜測(cè)答對(duì)5，6，7，8，9，10題的概率？至少答對(duì)5題的概率？ P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609 P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508 P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719 =.04395 =.00977 +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098 至少答對(duì)5題：P(X≥5) = 0.62306 (2)四選一，猜中8，9，10題的概率？ P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039 二．二項(xiàng)分布圖（P84~85） 三．二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（前提np≥5且ng≥5） 平均數(shù)--M=np 標(biāo)準(zhǔn)差--r=npg1/2 &3.正態(tài)分布 一．正態(tài)分布曲線 二．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（P387附表可查面積P） Z=(x-ц)/r (x:原始分?jǐn)?shù)) 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（有正有負(fù)） ΣZ=0 三．正態(tài)分布表的使用 查表 P(0≤Z≤1)=0.34134--Z的范圍中的人數(shù)比例（百分?jǐn)?shù)） P(0≤Z≤1.645)=0.4500 1.64 － .44950=0.45 1.65 － .45053=0.45 之上，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)高于2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，則非常聰明。 Eg:1. μ=70(分) σ＝10 P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1) P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0) 2.μ P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ) P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ) 圖（略） 例：某地區(qū)高考，物理成績(jī) μ＝57。08（分） σ＝18。04（分） 總共47000人。 （1）成績(jī)?cè)?0分以上多少人？ （2）成績(jī)?cè)冢?0，90）多少人？ （3）成績(jī)?cè)?0分以下多少人？ 解: X~N(57.08,18.042) -- 參數(shù)（μ,σ2） Normal 表示符合正態(tài)分布 令Z= (x-57.08)/18.04） ,則Z~N(0,12)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)平均數(shù)一定為0，標(biāo)準(zhǔn)差一定為1。 （1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82 P(Z>1.82)=.0344 N1=np=47000*0.0344=1616(人) (2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27 P(1.27<Z<1,82)=.46562-.39796=0.677 N2=NP=3177(人) （3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16 P(Z<0.16)=.56356 N3=26487(人) 四．正態(tài)分布的應(yīng)用 T=KZ+C T~N(C,K2) IQ=15Z+100 IQ=100 一般 IQ≥130 --超常 (30=2x*15) IQ<70 -- 弱智 70幾 --bndenline eg:1.某市參加一考試2800人，錄取150人，平均分?jǐn)?shù)75分，標(biāo)準(zhǔn)差為8。問錄取分?jǐn)?shù)定為多少分？ 解： X~N(75.82) Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12) P=150/2800=0.053 0.5-0.053=0.447 Z=1.615 X=1.615*8+75≈88(分) 2．某高考，平均500分，標(biāo)準(zhǔn)差100分，一考生650分，設(shè)當(dāng)年錄取10％，問該生是否到錄取分？ 解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12) Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10% 所以可錄取。 第五章 抽樣分布（概率P） &1.抽樣方法 一． 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 二． 等距抽樣 三． 分層抽樣 四． 整群抽樣 五． 有意抽樣 &2.抽樣分布 （1） （2） （3） （4） （5） 20 25 30 35 40 （1） ＃＝20 22.5 25 27.5 30 （2） 22.5 25 27.5 30 32.5 （3） 25 27.5 30 32.5 35 （4） 27.5 30 32.5 35 37.5 （5） 30 32.5 35 37.5 40 總體分布 圖 抽樣分布 圖 一．平均數(shù) E(#)=μ 二。標(biāo)準(zhǔn)差，方差。 σx=σ/n1/2 σ#2=σ2/n &3.樣本均值（#）的抽樣分布 一．總體方差σ2已知時(shí)，＃的抽樣分布 1．正態(tài)總體，σ2 已知時(shí)，＃的抽樣分布 設(shè)（X1,X2,…Xn）為抽自正態(tài)總體X~N(μ, σ2 ) 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則其樣本均值＃也是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即?！玁(μ, σ2 /n) Z=(#-μ)σ/n1/2 Eg:一次測(cè)驗(yàn)，μ=100 σ＝5 從該總體中抽樣一個(gè)容量為25的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求這一樣本均值間于99到101的概率？ 解： 已知X～N(100,52) n=25. 則?！玁(100,12) Z=(#-100)/1 ～ N(0,1) 當(dāng)#=99時(shí)，Z=-1 當(dāng)#=101時(shí)，Z=1 所以P(99≤#≤101) =P(-1≤Z≤1)=.68268 2.非正態(tài)總體，σ2已知時(shí)，#的抽樣分布 設(shè)（X1,X2,…Xn）是抽自非正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單1隨機(jī)樣本。當(dāng)n≥30時(shí)，其樣本均值＃接近正態(tài)分布，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即#～N(μ, σ2 /n) 若是小樣本，題目無解。 Eg(1)一種燈具，平均壽命5000小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為400小時(shí)（無限總體）從產(chǎn)品中抽取100盞燈，問它們的平均壽命不低于4900小時(shí)的概率。 解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大樣本 所以＃近似正態(tài)分布 ?！玁(5000,402) 當(dāng)＃＝4900時(shí)，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5 P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379 3.有限總體的修正系數(shù) （引出）（2）同上題，從2000（有限總體）盞中不放回地抽取100盞，問。。。。。 （概念）設(shè)總體是有限的總體，其均值為μ，方差為σ2 （X1,X2…Xn）是以不放回形式從該總體抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。則樣本均值＃的數(shù)學(xué)期望（E(#)）與方差為 E(#)=μ#=μ 和σ2 ＝（N-n）/(N-1)*( σ2 /n) N→∞時(shí)，修正系數(shù)不計(jì)。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)]1/2 .n/N≥0.05%,要用修正系數(shù) 如題（2），n/N＝0.05 所以要用修正系數(shù) 所以解題2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2 /n)＝2000－100）/2000-1=4002 /100=1520 σ#=15201/2 =38.987 Z=(4900-5000)/38.987= -2.565 P(Z≥-2.565)=.9949 二．總體方差σ2 未知時(shí)，樣本均值＃的抽樣分布。 用S2(總體方差的估計(jì)值)代替 σ2 t=(x-μ)/s/n1/2 ～tn-1→dp(自由度)=n-1 設(shè)（X1,X2,…Xn） 為抽自正態(tài)總體的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度為n-1的t分布 當(dāng)總體為非正態(tài)分布，且σ2 未知。 則樣本 小：無解 大：接近七分布 t≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ～ tn-1 Z≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z) 總體均值為80，非正態(tài)分布，方差未知，從該總體中抽一容量為64的樣本，得S=2,問樣本均值大于80.5得概率是多少？ 解：因?yàn)?4>30 是大樣本 P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025 若用Z，P(Z>z) ≈0.02275 (若N24，總體正態(tài)，則Z分布1不能用，只能用七分布) 非正態(tài)總體：小樣本--無解 大樣本--Z≈(x-μ)/σ/n1/2 σ2 已知 正態(tài)總體 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2 非正態(tài)總體：小樣本 -- 無解 σ2 未知： 大樣本--t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z 正態(tài)總體：小樣本--t=(x-μ)/σ/n1/2 大樣本--Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2 &3.兩個(gè)樣本均值之差（#1-#2）的抽樣分布 若＃1是獨(dú)立地抽自總體X1～N(μ1,σ2 的一個(gè)容量為n,的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的均值；＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。則兩樣本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2) 復(fù)雜計(jì)算 一種鋼絲的拉強(qiáng)度，服從正態(tài)分布 總體均值為80，總體標(biāo)準(zhǔn)差6，抽取容量為36的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求樣本均值∈[79，81]的概率 X~N(80,62) Z~N(0,12) Z=(x-μ)/6/361/2 =(x-8)/1 x∈[79,8081] Z ∈[-1,1] P=.68268 若σ不知。S=b，則 X～(80, σ2 ) 用公式t=(# -μ)/s/n1/2 ~ tn-1 =t35 某種零件平均長(zhǎng)度0.50cm,標(biāo)準(zhǔn)差0.04cm,從該總零件中隨機(jī)抽16個(gè)，問此16個(gè)零件的平均長(zhǎng)度小于0.49cm的概率 無解。 抽100個(gè)，則概率？ Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004 #<0.49 P(Z<-0.01/0.004) =P(Z<-2.5)=.49379= 從500件產(chǎn)品中不放回地抽25件。 25/500=0.05 要修正系數(shù)（N-n）/(N-1)≈.95 某校一教師采用一種他認(rèn)為有效的方法，一年后，從該師班中隨機(jī)抽取9名學(xué)生的成績(jī)，平均分84.5分，S=3。而全年級(jí)總平均分為82分，試問這9名學(xué)生的＃<84.5分的概率為多大？ #～N(82, σ2 ) t～t8 t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5 df=8 0.975≤P(t<2.5) 說明方法有效 （S=3是σ的估計(jì)值，兩組數(shù)據(jù)都很整齊。 圖（略） &4.有關(guān)樣本方差的抽樣分布 一．f2分布 1．f2 分布的密度函數(shù) f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0) f(x)=0 (x≤0) 圖（略） 2.定理： 設(shè)（X1,X2,X3…Xn）為抽自正態(tài)總體 X～N(μ,σ2 )的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則#=∑(X-#)2/n-1為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且＃~N(μ, σ2 /n) ∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n) 若抽自非正態(tài)總體：小樣本 -- 無解 大樣本 -- X2≈(（n-1）S2 /σ2 二．F分布 1．F分布的密度函數(shù) f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0) f(x)=0 (x<0) 2.定理 設(shè)(X1,X2,…Xn)為抽自X～N(μ1, σ2 1)的一個(gè)容量為n1的簡(jiǎn)單~(y1,y2…yn)為抽自正態(tài)總體y～N(μ2, σ2 2)的一個(gè)容量n2的簡(jiǎn)單～，則： 當(dāng)σ2 1=σ2 2時(shí)， F=S21/S22~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2～分母自由度 第六章 參數(shù)估計(jì)（置信水平下的區(qū)間估計(jì)） &1.點(diǎn)估計(jì) E(X)(即＃)=∑x/N→μ （拿一個(gè)點(diǎn)來估計(jì)參數(shù)） D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2 &2.總體均值的區(qū)間估計(jì) 一．總體均值的區(qū)間估計(jì)，σ2 已知。 正態(tài)總體 x~N (μ, σ2 ) #~N((μ, r2/n) Z=(# -μ)/ σ/n1/2 1．某種零件的長(zhǎng)度符合正態(tài)分布。σ＝1.5，從總體中抽200個(gè)作為樣本，＃＝8.8cm，試估計(jì)在95％的置信水平下，全部零件平均長(zhǎng)的置信區(qū)間。 解： 已知X~N(μ,1.52 ) n=200, #=8.8 1-a=0.95 →a-0.05 Z0.025=1.96 P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2 =P(8.59<μ<9.01)=0.95 10%>5% 若不放回地從2000個(gè)（總體）中抽出200個(gè)。--需修正系數(shù) 所以用(N-n)/(n-1)1/2 P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2 =0.95=P(8.60,9.00) 二 σ2 未知 P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a 為了制定高中學(xué)生體鍛標(biāo)準(zhǔn)，在某區(qū)隨機(jī)抽36名男生測(cè)100米，36名學(xué)生平均成績(jī)13.5秒，S=1.1秒，試估計(jì)在95％地置信水平下，高中男生100米跑成績(jī)的置信區(qū)間。 P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5 (13.5+-0.37) 即（13.13,13.87） 得(13.14,13.86) |
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