第一章 流體力學(xué)基礎(chǔ)

第一節(jié)空氣在管道中流動(dòng)的基本規(guī)律

工程流體力學(xué)以流體為對象，主要研究流體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并把這些規(guī)律應(yīng)用到有關(guān)實(shí)際工程中去。涉及流體的工程技術(shù)很多，如水力電力，船舶航運(yùn)，流體輸送，糧食通風(fēng)除塵與氣力輸送等，這些部門不僅流體種類各異，而且外界條件也有差異。

通風(fēng)除塵與氣力輸送屬于流體輸送，它是以空氣作為工作介質(zhì)，通過空氣的流動(dòng)將粉塵或粒狀物料輸送到指定地點(diǎn)。由于通風(fēng)除塵與氣力輸送是借助空氣的運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的，因此，掌握必要的工程流體力學(xué)基本知識，是我們研究通風(fēng)除塵與氣力輸送原理和設(shè)計(jì)、計(jì)算通風(fēng)除塵與氣力輸送系統(tǒng)的基礎(chǔ)。

本章中心內(nèi)容是敘述工程流體力學(xué)基本知識，主要是空氣的物理性質(zhì)及運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

一、流體及其空氣的物理性質(zhì)

(一) 流體

通風(fēng)除塵與氣力輸送涉及的流體主要是空氣。

流體是液體和氣體的統(tǒng)稱，由液體分子和氣體分子組成，分子之間有一定距離。但在流體力學(xué)中，一般不考慮流體的微觀結(jié)構(gòu)而把它看成是連續(xù)的。這是因?yàn)榱黧w力學(xué)主要研究流體的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律它把流體分成許多許多的分子集團(tuán)，稱每個(gè)分子集團(tuán)為質(zhì)點(diǎn)，而質(zhì)點(diǎn)在流體的內(nèi)部一個(gè)緊靠一個(gè)，它們之間沒有間隙，成為連續(xù)體。實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)包含著大量分子，例如在體積為10-15厘米的水滴中包含著3×107個(gè)水分子，在體積為1毫米³的空氣中有2.7×1016個(gè)各種氣體的分子。質(zhì)點(diǎn)的宏觀運(yùn)動(dòng)被看作是全部分子運(yùn)動(dòng)的平均效果，忽略單個(gè)分子的個(gè)別性，按連續(xù)質(zhì)點(diǎn)的概念所得出的結(jié)論與試驗(yàn)結(jié)果是很符合的。然而，也不是在所有情況下都可以把流體看成是連續(xù)的。高空中空氣分子間的平均距離達(dá)幾十厘米，這時(shí)空氣就不能再看成是連續(xù)體了。而我們在通風(fēng)除塵與氣力輸送中所接觸到的流體均可視為連續(xù)體。所謂連續(xù)性的假設(shè)，首先意味著流體在宏觀上質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)的，其次還意味著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程也是連續(xù)的。有了這個(gè)假設(shè)就可以用連續(xù)函數(shù)來進(jìn)行流體及運(yùn)動(dòng)的研究，并使問題大為簡化。

（二）密度

流體第一個(gè)特性是具有質(zhì)量。流體單位體積所具有流體徹底質(zhì)量稱為密度，用符號ρ表示。

在均質(zhì)流體內(nèi)引用平均密度的概念，用符號ρ表示：

式中：

M——流體的質(zhì)量[千克]；

V——流體的體積[米³]；

ρ——千克/米³。

但對于非均質(zhì)流體，則必需用點(diǎn)密度來描述。

所謂點(diǎn)密度是指當(dāng)ΔV→0值的極限，即：

公式中，ΔV→0理解為體積縮小為一點(diǎn)，此點(diǎn)的體積可以忽略不計(jì)，同時(shí)，又必須明確，這點(diǎn)和分子尺寸相比必然是相當(dāng)大的，它必定包括多個(gè)分子，而不至喪失流體的連續(xù)性。

壓強(qiáng)和溫度對不可壓縮流體密度的影響很小，可以把流體密度看成是常數(shù)。

（三）重度

流體的第二個(gè)特性是具有重量，這是第一個(gè)特性的結(jié)果。重度是流體單位體積內(nèi)所具有的流體重量，即：

式中：

G——流體的重量[牛頓]；

V——流體的體積[米³]；

Υ——流體的重度[牛頓/米³]。

對于液體而言，重度隨溫度改變，而氣體而言，氣體的重度取決于溫度和壓強(qiáng)的改變。

顯然，密度與重度存在如下關(guān)系，G=M·g，等式兩邊除以V得：

 即：

Υ=ρg

式中：

g——重力加速度，通常取9.81[米/秒²]

（四）粘滯性

當(dāng)我們把油和水倒在同一斜度的平面上，發(fā)現(xiàn)水的流動(dòng)速度比油要快的多，這是因?yàn)橛偷恼硿源笥谒恼硿?。又如我們觀察河流，可以明顯地看到，越靠近河岸流速越小，越接近河心流速越高。這表明河岸對流體有約束作用，流體內(nèi)部也有相互約束的作用力。這種性質(zhì)就是流體的粘滯性。我們可以通過下面的試驗(yàn)來證明流體粘滯性的存在。

假設(shè)有兩塊平行的木板，其間充滿流體，如圖，讓下面一塊平板固定而下面一塊平板以等速V運(yùn)動(dòng)，我們將會看到板間流體很快就處于流動(dòng)狀態(tài)，且靠近上面平板的流體流速較大，而向下流速則較減小，其流速由上至下速度變化為從V到零。當(dāng)中任一層流體的速度隨法線方向呈線性改變。

要使上面平板以等速運(yùn)動(dòng)，需在其上加一個(gè)力，使它大小恰好克服流體由于粘滯性而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力T，流體層間內(nèi)摩擦力是成對出現(xiàn)的，其方向據(jù)實(shí)際分析而定。實(shí)驗(yàn)證明，內(nèi)摩擦力T的大小與流體種類有關(guān)；與流體的接觸面積有關(guān)；與垂直于板的速度梯度成正比，故：

式中：

μ——流體動(dòng)力粘性系數(shù)]；

A——流體的接觸面積；

——流體在法線方向（垂直于木板）的速度梯度。

上式稱作牛頓內(nèi)摩擦定律。而通常把單位面積上所具有的摩擦力τ稱為摩擦應(yīng)力或切應(yīng)力：

式中：

τ——摩擦應(yīng)力或切應(yīng)力。

上式表明切應(yīng)力的大小取決于速度梯度，也可以理解為取決于變形角速度的大小。如圖所示，設(shè)流體作直線運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻t取一個(gè)正方形成一斜方形流體基元平面，令上層流速，經(jīng)過d t時(shí)間即為角變形速度，在短暫時(shí)間內(nèi)，則：

另外，從公式中還可以看出，切應(yīng)力的大小也取決于粘性系數(shù)。而動(dòng)力粘性系數(shù)μ又隨不同流體及溫度和壓力而變化。通常粘性系數(shù)與壓力的關(guān)系不大，如每增加1千克/厘米²時(shí)，液體的粘性系數(shù)平均只增加1/500→1/300，因此在多數(shù)情況下可以忽略壓力對液體粘性系數(shù)的影響。對于氣體，由分子運(yùn)動(dòng)論得知：

μ=（0.31~0.49）ρv L

式中：

ρ——氣體密度；

V—?dú)怏w分子運(yùn)動(dòng)速度；

L—分子平均自由行程。

由于分子運(yùn)動(dòng)的速度V與壓力P無關(guān)，在等溫條件下，P與ρ成正比與L成反比，故壓力變化時(shí)μ仍可保持不變。

至于粘性系數(shù)與溫度的關(guān)系已被大量的實(shí)驗(yàn)所證明。即液體的粘性系數(shù)隨溫度的增加而下降，氣體的粘性系數(shù)隨溫度而增加。這種截然相反的結(jié)果可用液體的微觀結(jié)構(gòu)去闡明。流體間摩擦的原因是分子間的內(nèi)聚力、分子和壁面的附著力及分子不規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)而引起的動(dòng)量交換，使部分機(jī)械能變?yōu)闊崮堋＿@幾種原因?qū)σ后w與氣體的影響是不同的。因?yàn)橐后w分子間距增大，內(nèi)聚力顯著下降。而液體分子動(dòng)量交換的增加又不足以補(bǔ)償，故其粘性系數(shù)下降。對于氣體則恰恰相反，其分子熱運(yùn)動(dòng)對粘滯性的影響居主導(dǎo)地位，當(dāng)溫度增加時(shí)，分子熱運(yùn)動(dòng)更為頻繁，故氣體粘性系數(shù)隨溫度而增加。

另外，在我們研究流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)候，ρ和μ經(jīng)常是以μ/ρ的形式相伴出現(xiàn)，這是為了實(shí)用方便，就把μ/ρ叫做運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，用符號υ表示。

υ=μ/ρ[米²/秒]

必須指出：在分析流體流過固體的時(shí)候，或管中流體運(yùn)動(dòng)諸現(xiàn)象時(shí)運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)是非常重要的參數(shù)。但是當(dāng)比較各種不同流體的內(nèi)摩擦力時(shí)，運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)卻不能作為一項(xiàng)物理特征。我們只要比較一下水與空氣的粘性系數(shù)即可明白這一點(diǎn)。水比空氣粘性大，動(dòng)力粘性系數(shù)水的比空氣的大100倍，但是空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)卻比水的大10倍以上，所以不能以運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)來說明水比空氣粘性大，這是因?yàn)榭諝獾拿芏缺人装俦兜木壒省?/span>

（五）溫度

溫度是標(biāo)志流體冷熱程度的參數(shù)。就氣體而言，溫度和氣體分子平移運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能有關(guān)。在分子熱運(yùn)動(dòng)中，各個(gè)分子平移運(yùn)動(dòng)速度的方向和大小各不相同，而且在不斷地變化著。任一瞬間，有些分子運(yùn)動(dòng)速度較大，也有些分子運(yùn)動(dòng)速度較小，就大量分子的總體而言，則具有中等大小的速度，可以用一個(gè)平均速度來表示大量分子熱運(yùn)動(dòng)的狀況。溫度越高，分子熱運(yùn)動(dòng)越強(qiáng)盛，分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度則越大動(dòng)能也就越大。

流體的溫度用測量溫度的儀表測定。為了標(biāo)志溫度的高低和保證溫度測量的準(zhǔn)確一致，就要規(guī)定一個(gè)衡量溫度高低的標(biāo)準(zhǔn)尺子，稱為溫度標(biāo)尺，簡稱溫標(biāo)。目前國際上通用的溫標(biāo)主要有兩種。

攝氏溫標(biāo)（t）——攝氏溫標(biāo)規(guī)定：在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水開始結(jié)冰時(shí)的溫度（冰點(diǎn)）定為0⁰C，純水沸騰時(shí)的溫度（沸點(diǎn)）定為100⁰C。在0⁰C與此同時(shí)100⁰C之間劃為100等分。每一等分就是攝氏溫度的10C。

絕對溫標(biāo)（T）——在絕對溫標(biāo)中，把-273.15⁰C作為零點(diǎn)，由此而測量出的溫度就是絕對溫度。用絕對溫標(biāo)表示溫度時(shí)，在度數(shù)的右邊加上字母“K”。  絕對溫標(biāo)的每1K與攝氏溫標(biāo)每1⁰C在數(shù)值上完全相等，1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水的冰點(diǎn)為273.15K（工程上取273K已足夠準(zhǔn)確），沸點(diǎn)為373.15K。

攝氏溫度和絕對溫度之間的換算關(guān)系為：

T=273+t [K]

（六）壓強(qiáng)

氣體或液體分子總是永遠(yuǎn)不停地作無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)。在管道中這種無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，使管道中的分子間不斷地相互碰撞，這就形成了對管道的撞擊力。雖然每個(gè)分子對管道壁的碰撞是不連續(xù)的，致使撞擊力也是不連續(xù)的，但是由于管道中有大量的分子，它們不停且非常密集地碰撞管壁，因此，從宏觀上就產(chǎn)生了一個(gè)持續(xù)的有一定大小的壓力。正如雨點(diǎn)落到傘面上，雖然每個(gè)雨點(diǎn)對傘面的作用力并不是連續(xù)的，但是，大量密集的雨點(diǎn)落到傘面上，就能感覺到雨點(diǎn)對傘面形成了一個(gè)持續(xù)的壓力。對管壁而言，作用在管壁上壓力的大小取決于單位時(shí)間內(nèi)受到分子撞擊的次數(shù)以及每次撞擊力量的大小。單位時(shí)間撞擊次數(shù)越多，每次撞擊的力量越大，作用于管壁的壓力也越大。

壓強(qiáng)的大小可用垂直作用于管管壁單位面積上的壓力來表示，即：

式中：

P——壓強(qiáng)[牛頓]；

F——垂直作用于管壁的合力[牛頓]；

A——管壁的總面積。

壓強(qiáng)的單位通常有三種表示方法。

第一種，用單位面積的壓力表示。

在工程流體力學(xué)中，常以千克為力的單位,平方米作為面積的單位，于是壓強(qiáng)的單位為[千克/米²]，有時(shí)也用[千克/厘米²]作為壓強(qiáng)的單位。在國際單位制中壓強(qiáng)單位采用[帕]=牛頓/米²。其換算關(guān)系為：

1帕=1/9.81[千克/米²]

第二種，用液柱高度表示。

在測定管道中流體的壓強(qiáng)時(shí)，常采用里面裝有水或水銀的U型壓力計(jì)為測量儀器，以液柱高度表示壓強(qiáng)的大小。

設(shè)液柱作用于管底的壓力為液柱的重量，其大小為：

F= Υ·h·A

式中：

Υ——液體重度；

h——液柱高度；

A——受力面積。

壓強(qiáng)為：

例如，水的重度為100[千克/米³]，水銀的重度為13600[千克/米³]，試將P=1[千克/厘米³]換算成相應(yīng)的液柱高度。

用水銀柱（汞柱）高度表示：

h=P/Υ=10000/13600=0.736[米水銀柱]=736[毫米水柱]

用水柱高度表示：

h=P/Υ=10000/1000=1000[毫米水柱]

第三種，用大氣壓表示。

國際上，把海拔為零，空氣溫度為0°C，緯度為45°時(shí)測得的大氣壓強(qiáng)為1個(gè)物理大氣壓，它等于10336[千克/米²]。工程上為簡化起見，在不影響計(jì)算精度的前提下，取一個(gè)工程大氣壓為10000[千克/米²]。

工程中需要規(guī)定某一狀態(tài)的空氣為標(biāo)準(zhǔn)空氣。在我國把一個(gè)工程大氣壓，溫度為20⁰C的空氣狀態(tài)規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)。國際上把一個(gè)物理大氣壓，溫度為0⁰C的狀態(tài)規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的空氣稱為標(biāo)準(zhǔn)空氣。標(biāo)準(zhǔn)空氣的密度為ρ=1.2千克/米³

表示壓強(qiáng)的三種方法換算關(guān)系為：

1物理大氣壓=10336[千克/米²]=10336[毫米水柱]=760[毫米汞柱]

1工程大氣壓=10000[千克/米²]=10000[毫米水柱] =736[毫米汞柱]

為了滿足工程上的需要，壓強(qiáng)可按以下三種方法進(jìn)行計(jì)算（如圖所示）。

絕對壓強(qiáng)——當(dāng)計(jì)算壓強(qiáng)以完全真空（P=0）為基準(zhǔn)算起，稱絕對壓強(qiáng)，其值為正。

相對壓強(qiáng)——當(dāng)計(jì)算壓強(qiáng)以當(dāng)?shù)卮髿鈮海?/span>Pa）為基準(zhǔn)算起時(shí)，稱相對壓強(qiáng)或表壓。

1點(diǎn)的壓強(qiáng)高于當(dāng)?shù)卮髿鈮海?/span>P₁> Pa ），為正壓：

P_M1=P₁-Pa

2點(diǎn)的壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮海?/span>P₂<Pa），為負(fù)壓：

P_M2=P₂-Pa

真空度——當(dāng)絕對壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng)時(shí)，其大于大氣壓的數(shù)值稱為真空度。以液柱高度表示為：

(七) 比容

比容是單位重量的流體占有的容積，它是定量流體容積大小的狀態(tài)參數(shù)。它與重度的關(guān)系為：

Υ·υ=1

氣體的比容隨溫度和壓力變化。

(八) 理想氣體狀態(tài)方程

理想氣體指一種假想的氣體，它的質(zhì)點(diǎn)是不占有容積的質(zhì)點(diǎn)；分子之間沒有內(nèi)聚力。雖然自然界中不存在真正的理想氣體，但是為了研究流體的客觀規(guī)律，從復(fù)雜的現(xiàn)象中抓住主要環(huán)節(jié)而忽略某些枝節(jié)，在工程應(yīng)用所要求的精度內(nèi)，使問題合理化，不至于引起太大的誤差。就此意義來講，引出理想氣體的概念是十分重要的。

在研究通風(fēng)除塵與氣力輸送時(shí)，完全可以引用理想氣體的定律。

空氣在壓力或溫度變化時(shí)能改變自身的體積，具有顯著的壓縮性和膨脹性，因此，當(dāng)溫度或壓力變化時(shí)，氣體的密度也隨之變化。它們之間的關(guān)系，服從于理想氣體狀態(tài)方程。即：

P·υ=R·T 或：P/p=R·T

式中：

P——絕對壓力（牛頓/米²）；

υ——比容（米²/牛頓）；

T——熱力溫度（K—開爾文）；

T=T₀+t⁰C，T0=273K；

R——?dú)怏w常數(shù)（牛·米/千克·開），對于空氣R=287牛·米/千克·開。

二、與空氣流動(dòng)的有關(guān)概念

空氣是一種流體，其流動(dòng)規(guī)律遵循流體力學(xué)的一般規(guī)律。在介紹反映流體流動(dòng)規(guī)律的流體力學(xué)基本方程之前，先介紹一些有關(guān)的流動(dòng)的基本概念。

充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場。用以表示流體運(yùn)動(dòng)特征的一切物理統(tǒng)稱為運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如速度v、加速度a、密度p、壓力P和粘性力F等。

流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就是在流場中流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間及空間位置的分布和連續(xù)變化的規(guī)律。

(一) 穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流

如果流場中各點(diǎn)上流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間而變化，這種流動(dòng)就稱為穩(wěn)定流。如果運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間而變化，這種流動(dòng)就稱為非穩(wěn)定流。

對于穩(wěn)定流：

對于非穩(wěn)定流：

上述兩種流動(dòng)可用流體經(jīng)過容器壁上的小孔泄流來說明（如圖）。

                    　　　　a                                      b

圖a表明：容器內(nèi)有充水和溢流裝置來保持水位恒定，流體經(jīng)孔口的流速及壓力不隨時(shí)間變化而變化，流出的形狀為一不變的射流，這就是穩(wěn)定流。

圖b表明：由于沒有一定的裝置來保持容器中水位恒定，當(dāng)孔口泄流時(shí)水位將漸漸下降。因此，其速度及壓力都將隨時(shí)間而變化，流出的形狀也將是隨時(shí)間不同而改變的流，這就是屬于非穩(wěn)定流

在通風(fēng)除塵網(wǎng)路中，如果網(wǎng)路阻力不變，風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速不變，則空氣的流動(dòng)可視為穩(wěn)定流動(dòng)。在氣力輸送網(wǎng)路中，如果提升管的輸送量不變，管內(nèi)空氣流動(dòng)也可以視為穩(wěn)定流動(dòng)。

(二) 跡線與流線

⒈跡線：

流場中流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為跡線。

⒉流線：

流場中某一瞬時(shí)的一條空間曲線，在該線上各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度方向與該點(diǎn)的切線方向重合。

(三) 流管與流束

⒈流管

流場中畫一條封閉的曲線。經(jīng)過曲線的每一點(diǎn)作流線由這些流線所圍成的管子稱為流管。

非穩(wěn)定流時(shí)流管形狀隨時(shí)間變化；穩(wěn)定流時(shí)流管不隨時(shí)間而變化。

由于流管的表面由流線所組成，根據(jù)流線的定義流體不能穿出或穿入流體的表面。這樣，流管就好像剛體管壁一樣，把流體運(yùn)動(dòng)局限于流管之內(nèi)或流管之外。故在穩(wěn)定流時(shí)，流管就像真實(shí)管子一樣。

⒉流束

充滿在流管中的運(yùn)動(dòng)流體（即流管內(nèi)流線的總體）稱為流束。斷面無限小的流束稱為微小流束。

⒊總流

無數(shù)微小流束的總和稱為總流，如水管及風(fēng)管中水流和氣流的總體。

(四) 有效斷面、流量與平均流速

⒈有效斷面

有效斷面與微小流束或總流各流線相垂直的橫斷面，稱為有效斷面，用
d _A或A表示，在一般情況下，流線中各點(diǎn)流線為曲線時(shí)，有效斷面為曲面形狀。在流線趨于平行直線的情況下，有效斷面為平面斷面。因此，在實(shí)際運(yùn)用上對于流線呈平行直線的情況下，有效斷面可以定義為：與流體運(yùn)動(dòng)方向垂直的橫斷面。

⒉流量

單位時(shí)間內(nèi)流體流經(jīng)有效斷面的流體量稱為流量。流量通常用流體的體積、質(zhì)量或重量來表示，相應(yīng)地稱為體積流量Q、質(zhì)量流量M和重量流量G來表示。它們之間的關(guān)系為：

G=Υ·Q牛頓/秒

M=Υ/g·Q=ρ·Q千克/秒

Q=G/Υ=M/ρ米³/秒

對于微小流束，體積流量d Q應(yīng)等于流速u與其微小有效斷面面積d A之乘積，即：

  d Q=v·d A

對于總流而言，體積流量Q則是微小流束流量Q對總流有效斷面面積A的積分。

⒊平均流速V

由于流體有粘性，任一有效斷面上各點(diǎn)速度大小不等。由實(shí)驗(yàn)可知，總流在有效斷面上速度分布呈曲線圖形，邊界處u為零，管軸處u為最大。設(shè)想有效斷面上以某一均勻速度V分布，同時(shí)其體積流量則等于以實(shí)際流速流過這個(gè)有效斷面的流體體積，即：

 ；

根據(jù)這一流量相等原則確定的均勻流速，就稱為斷面平均流速。工程上所指的管道中的平均流速，就是這個(gè)斷面上的平均流速V。平均流速就是指流量與有效斷面面積的比值。

[例題]

通風(fēng)機(jī)的風(fēng)量為2000米³/秒。若風(fēng)管直徑d_內(nèi)=200毫米。試計(jì)算流體的平均流速，并將體積流量換算成質(zhì)量流量忽然重量流量。
（空氣 ）

解：（1）計(jì)算平均流速

（2）計(jì)算重量流量：

=23544（牛/時(shí)）=6.54（牛/秒）

（3）計(jì)算質(zhì)量流量

=0.67（千克/秒）

三、連續(xù)性方程

因?yàn)榱黧w是連續(xù)的介質(zhì)，所以在研究流體流動(dòng)時(shí)，同樣認(rèn)為流體是連續(xù)地充滿它所占據(jù)的空間，這就是流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性條件。因此，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對于空間固定的封閉曲面，非穩(wěn)定流時(shí)流入的流體質(zhì)量與流出的流體質(zhì)量之差，應(yīng)等于封閉曲面內(nèi)流體質(zhì)量的變化量。穩(wěn)定流時(shí)流入的流體質(zhì)量必然等于流出的流體的質(zhì)量，這結(jié)論以數(shù)學(xué)形式表達(dá)，就是連續(xù)性方程。

(一) 一元微小流束穩(wěn)定流的連續(xù)性方程

在總流A1及A2斷面上，取有效斷面為dA1及dA2，速度為u1及u2，密度為ρ1及ρ2的微小流束來討論。由于微小流束表面是由流線圍成的，故沒有流體的流進(jìn)或流出，只有兩端dA1及dA2有流體的流入或流出。dt時(shí)間內(nèi)，由dA1流入的流體質(zhì)量為ρ1v1dAdt1，由dA2流出的流體質(zhì)量為ρ2v2dA2dt2。因此，在dt時(shí)間內(nèi)，實(shí)際流入此微小流束的質(zhì)量為：

dM=ρ₁v₁dA₁dt-ρ₂v₂dA₂dt

穩(wěn)定流時(shí)，微小流束的形式和運(yùn)動(dòng)參數(shù)（密度）都不隨時(shí)間變化。并且流體是連續(xù)而無空隙的介質(zhì)，所以，在dt的時(shí)間內(nèi)微小流束dA₁及dA₂斷面部所包圍的流體質(zhì)量不隨時(shí)間變化而變化，根據(jù)質(zhì)量守恒定律可得：

dM=0；則：ρ₁v₁dA₁=ρ₂v₂dA₂

這就是可壓縮流體沿微小流束穩(wěn)定流時(shí)的連續(xù)方程。若流體不可壓縮，則流體密度為一常數(shù)，即：

ρ₁=ρ₂，則：v₁dA₁=v₂dA₂

這就是不可壓縮流體微小流束穩(wěn)定流時(shí)的連續(xù)性方程。

（二）一元總流穩(wěn)定連續(xù)性方程

將公式兩邊沿整個(gè)有效斷面A₁及A₂積分，就可得到可壓縮流體總流的連續(xù)性方程，即：

為了簡化處理，將上式中的ρ₁及ρ₂分別取為各自斷面的平均ρ₁平均及ρ₂均，則上式可寫成：

積分得：ρ₁平均Q₁=ρ₂均Q₂；

或：ρ₁平均V₁A₁=ρ=均V₂A₂

       式中：

ρ_1平均、ρ_2平均——斷面A₁和A₂處流體平均密度；

    V₁、V₂——斷面A₁和A₂處流體平均流速；

    A₁、A₂——有效斷面1、2的斷面面積。

上式說明了可壓縮流體穩(wěn)定流時(shí)，沿流程的質(zhì)量流量保持不變，為一常數(shù)。

對不可壓縮流體，ρ為常數(shù)，則公式可簡化為：

Q₁=Q₂

V₁A₁=V₂A₂

V₁/V₂=A₂/A₁

上式為不可壓縮流體穩(wěn)定流時(shí)總流的連續(xù)性方程。它說明一元總流在穩(wěn)定流時(shí)，沿流程體積流量為一常值，各有效斷面平均流速與有效斷面面積成反比，即斷面大處流速小，斷面小處流速大。這是不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本規(guī)律。所以，只要總流的流量已知，或任一斷面的平均流速和斷面積已知，其它各個(gè)斷面的平均流速即可用連續(xù)性方程計(jì)算出來。

[例題]

如圖所示的通風(fēng)管道，d₁=100毫米，d₂=150毫米，d₃=200毫米，（1）當(dāng)風(fēng)量為700米³時(shí)，求各管道的平均風(fēng)速。（2）當(dāng)風(fēng)量增大到1000米³時(shí)，求平均流速如何變化。（ —常數(shù)）

解：

（1）根據(jù)連續(xù)性方程

V₁A₁=V₂A₂=V₃A₃=Q

所以：V₁=

（2）各斷面流速比例保持不變，風(fēng)量增大到期1000米³/時(shí)，即流量增大倍，則 各管流速也增加 倍，即

四、空氣流動(dòng)的能量方程（伯努利方程）

連續(xù)性方程表明，當(dāng)空氣在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，其速度將隨著截面積的變化而變化。通過實(shí)驗(yàn)還可以觀察到，其靜壓力也將隨著截面積的變化而變化。例如，流體在水平錐形管道中作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)（見圖），截面1—1小于截面2—2。空氣由小截面1—1處進(jìn)入錐形管。若用U形壓力計(jì)分別在1—1，2—2截面處測定靜壓力，則可觀察到1—1截面處的壓力小于2—2截面處壓力，即P₁〈 P₂，若考慮流動(dòng)阻力會消耗能量，但這只能導(dǎo)致P₂〈 P₁，現(xiàn)在卻相反。這就啟發(fā)人們，只能從截面的變化上去分析原因。這個(gè)現(xiàn)象表明，截面大的地方流速小，壓力大，截面小的地方流速大，壓力小。但這一現(xiàn)象并不表明靜壓力與速度在數(shù)值上成反比關(guān)系，它只是反映了靜壓力與動(dòng)壓力在能量上的相互轉(zhuǎn)換。為了得到這種能量轉(zhuǎn)換的定量關(guān)系，可作以下分析。

一根兩端處于不同高度的變徑管。理想流體（忽略粘性的流體）在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，管道中任取1—2流體段。在很短的時(shí)間內(nèi)，1—2流體運(yùn)動(dòng)到了1’—2’位置。由于在很短時(shí)間內(nèi)，流過的1—1’的距離很小，所以1到1’的流速U1、靜壓力P₁、截面積A₁和高度Z₁的變化也很微小，可認(rèn)為不變。同理，2—2 ’處的U₂、P₂、A₂、Z₂也可看作不變。

1—2流體段在向前流動(dòng)的過程中，它所受到的外力有：截面1處后面流體向前的推力F₁和截面2處前面流體的阻力F₂。

由于：F₁=P₁A₁；F₂=P₂A₂

流體由1—2位置流動(dòng)到1’—2’位置，在時(shí)間t內(nèi)F₁和F₂所作的功為：

W=F₁v₁t—F₂v₂t=P₁A₁v₁t-P₂A₂v₂t

根據(jù)連續(xù)性方程：

A₁v₁=A₂v₂=Q，所以：W=P₁Qt-P₂Qt

由于流量Q乘以時(shí)間t即為體積V，上式又可寫為：

W=P₁V-P₂V

理想流體從1—2流到1’—2’時(shí)，在1’—2 ’段內(nèi)的流體情況沒有發(fā)生變化。因此，在這個(gè)流動(dòng)過程中所發(fā)生的變化只是把1—1 ’這段流體移到了2—2’的位置。由于這兩段流體的速度和所處的高度不同。它們的動(dòng)能和勢能也就不等。假設(shè)1—1’和2—2 ’處的總機(jī)械能分別為E₁和E₂，則：

E₁=1/2mv₁²+mgz₁

E₂=1/2mv₂²+mgz₂

能量的增量：

E=E₂-E₁=（1/2mv₂²+mgz₂）-(1/2mv₁²+mgz₁)

理想流體流動(dòng)時(shí)沒有流動(dòng)阻力，因而也沒有能量損耗，流體流動(dòng)時(shí)能量的增量就等于外力所做的功W，即△E=W。所以：

P₁V-P₂V=（1/2mv₂²+mgz₂）-（1/2mv₁²+mgz₁）

即  P₁V+1/2mv₁²+mgz₁=P₂V+1/2mv₂²+mgz₂

管道中截面A₁，A₂是可任意選取的，因此，對于任意一個(gè)截面均有：

PV+1/2mv²+mgz=常數(shù)

式中：PV是體積為V的流體所具有的靜壓能。

上式是伯努利于1738年首先提出的，故稱伯努利方程。它是流體力學(xué)中重要的基本方程式，該方程式表明了一個(gè)重要的結(jié)論：理想流體在穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過程中，其動(dòng)能、位能、靜壓力之和為一常數(shù)，也就是說三者之間只會相互轉(zhuǎn)換，而總能量保持不變。該方程通常稱為理想流體在穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)的能量守恒定律或能量方程。當(dāng)空氣作為不可壓縮理想流體處理時(shí)，則也服從這個(gè)規(guī)律。由于空氣的ρ值都很小，位能項(xiàng)與其它二項(xiàng)相比則可忽略不計(jì)。因此，對于空氣的能量方程可寫成：

PV+1/2mv²=常數(shù)

方程兩邊同時(shí)除以V，則得：

P+1/2ρv²=常數(shù)

式中：

P—空氣的靜壓力；

1/2ρv²—空氣的動(dòng)壓力。

方程右邊的常數(shù)便代表了空氣流動(dòng)時(shí)的全壓力。若以符號H_全、H_靜、H_動(dòng)表示，則有：

H_全=H_靜+H_動(dòng)=常數(shù)

上式所表明的靜壓力和動(dòng)壓力之間的關(guān)系與前述實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全相符。當(dāng)空氣在沒有支管的管道中流動(dòng)時(shí)，對于任意兩個(gè)截面，根據(jù)上式，以相對壓力表示的伯努利方程可寫成：

H_靜1+H_動(dòng)1=H_靜2+H_動(dòng)2

應(yīng)用以上伯努利方程時(shí)，必須滿足以下條件：

不可壓縮理想流體在管道內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)；

流動(dòng)系統(tǒng)中，在所討論的二個(gè)截面間沒有能量加入或輸出；

在列方程的兩截面間沿程流量不變，即沒有支管；

截面上速度均勻，流體處于均勻流段。在速度發(fā)生急變的截面上，不能應(yīng)用該方程。

以上所討論的伯努利方程，表明的是理想流體作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)的規(guī)律，也即認(rèn)為是沒有能量損耗的。但是實(shí)際上空氣是有粘性的，流動(dòng)時(shí)將由于流體的內(nèi)摩擦作用而產(chǎn)生能量損失，若空氣由1—2段流動(dòng)至1^，—2 ^，段時(shí)的能量損耗用H_損1-2表示，根據(jù)能量守恒定律，則應(yīng)有：

H_靜1+H_動(dòng)1=H_靜2+H_動(dòng)2+H_損1-2   或：

H_全1=H_全2+ H_損1-2

這種能量損失表現(xiàn)為壓力的變化，也叫壓力損失。

由公式可得，風(fēng)管內(nèi)任意兩截面間的壓力損失等于該兩截面處的全壓力之差，即：

H_損1-2=H_全1－H_全2

對于等截面的風(fēng)管，由于管內(nèi)空氣的流速到處相等，即任意截面處的動(dòng)壓力H_動(dòng)相等。根據(jù)公式，任意兩截面間的壓力損失則應(yīng)等于該兩截面處的靜壓力之差，即：

H_損1-2=H_靜1－H_靜2

若將U形壓力計(jì)的兩端分別與截面1、2處的測壓口相連，則U形壓力計(jì)中指示液的高度差就是空氣流過該段風(fēng)管所產(chǎn)生的壓力差，即損失的能量。

當(dāng)有外功加入系統(tǒng)時(shí)，例如在包括通風(fēng)機(jī)在內(nèi)的通風(fēng)管道的兩截面間列能量守恒方程，此時(shí)，應(yīng)將輸入的單位能量項(xiàng)H風(fēng)機(jī)加在方程的左方：

H_靜1+H_動(dòng)1+H_{風(fēng)機(jī)}=H_靜2+H_動(dòng)2+H_損1-2

式中：

H_{風(fēng)機(jī)}—通風(fēng)機(jī)供給的能量；

H_損1-2—兩截面間的能量損失。

[例題]

風(fēng)機(jī)的進(jìn)風(fēng)管直徑為100毫米。當(dāng)風(fēng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，空氣通過進(jìn)風(fēng)管進(jìn)入風(fēng)機(jī)。在喇叭型進(jìn)口處測得水柱上升高度h₀=12毫米（如圖）?？諝庵囟?/span>=11.8牛/米³。如不考慮流動(dòng)損失，求進(jìn)入風(fēng)機(jī)的風(fēng)量。

解：取1—1及2—2斷面，列出兩斷面能量方程

以大氣壓力為基準(zhǔn)，則式中P₁=0，由于1-1斷面遠(yuǎn)大于進(jìn)風(fēng)管斷面，可近似地取V₁=0，P₂=-12毫米水柱=-118牛/米²，V₂=，因不計(jì)損失，則 。將以上各值代入上式則得