【分享】常用算法設(shè)計(jì)方法

QUOTE:

一、迭代法

迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：

（1）   選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0；

（2）   將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；

（3）   當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。

若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：

【算法】迭代法求方程的根

{   x0=初始近似根；

do {

x1=x0；

x0=g(x1)；   /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/

} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；

printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；

}

迭代算法也常用于求方程組的根，令

X=（x0，x1，…，xn-1）

設(shè)方程組為：

xi=gi(X)     (I=0，1，…，n-1)

則求方程組根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程組的根

{   for (i=0;i<n;i++)

x=初始近似根;

do {

for (i=0;i<n;i++)

y=x;

for (i=0;i<n;i++)

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)

if (fabs(y-x)>delta)     delta=fabs(y-x)；

} while (delta>Epsilon)；

for (i=0;i<n;i++)

printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；

printf(“\n”)；

}

具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：

（1）   如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制；

（2）   方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗

QUOTE:

二、窮舉搜索法

窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。

【問題】   將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取[1，6]上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。

程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。

【程序1】

# include

void main()

{   int a,b,c,d,e,f;

for (a=1;a<=6;a++)  

for (b=1;b<=6;b++)     {

if (b==a)     continue;

for (c=1;c<=6;c++)     {

if (c==a)||(c==b)   continue;

for (d=1;d<=6;d++)     {

if (d==a)||(d==b)||(d==c)   continue;

for (e=1;e<=6;e++)     {

if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d)   continue;

f=21-(a+b+c+d+e);

if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a))   {

printf(“%6d,a);

printf(“%4d%4d”,b,f);

printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);

scanf(“%*c”);

}

}

}

}

}

}

按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個(gè)變量排成三角形，每條邊有4個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。

對(duì)一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個(gè)排列。為了得到排列124653的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個(gè)比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個(gè)排列。按以上想法編寫的程序如下。

【程序2】

# include

# define SIDE_N   3

# define LENGTH   3

# define VARIABLES   6

int A,B,C,D,E,F;

int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};

int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};

int side_total[SIDE_N];

main{}

{   int i,j,t,equal;

for (j=0;j<variables;j++)

*pt[j]=j+1;

while(1)

{   for (i=0;i<side_n;i++)

{   for (t=j=0;j<length;j++)

t+=*side[j];

side_total=t;

}

for (equal=1,i=0;equal&&i<side_n-1;i++)

if (side_total!=side_total[i+1]   equal=0;

if (equal)

{   for (i=1;i<variables;i++)

printf(“%4d”,*pt);

printf(“\n”);

scanf(“%*c”);

}

for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)

if (*pt[j]>*pt[j-1])   break;

if (j==0)   break;

for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)

if (*pt>*pt[i-1])   break;

t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt; *pt=t;

for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)

{   t=*pt[j]; *pt[j] =* pt; *pt=t;   }

}

}

從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來加以說明。

【問題】   背包問題

問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。

設(shè)n個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w[ ]和v[ ]中，限制重量為tw?？紤]一個(gè)n元組（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0 表示第i個(gè)物品沒有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。

顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組。

【算法】

maxv=0;

for (i=0;i<2n;i++)

{   B[0..n-1]=0;

把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中;

temp_w=0;

temp_v=0;

for (j=0;j<n;j++)

{   if (B[j]==1)

{   temp_w=temp_w+w[j];

temp_v=temp_v+v[j];

}

if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))

{   maxv=temp_v;

保存該B數(shù)組；

}

}

}

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[樓 主] | Posted:2006-07-27 15:50|

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三、遞推法

遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎?，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。

【問題】   階乘計(jì)算

問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n≦100），計(jì)算并輸出k的階乘k?。╧=1，2，…，n）的全部有效數(shù)字。

由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[ ]存儲(chǔ)：

N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100

并用a[0]存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為：

3   0   2   1   ……

首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。

計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。

# include

# include

# define MAXN   1000

void pnext(int a[ ],int k)

{   int *b,m=a[0],i,j,r,carry;

b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));

for ( i=1;i<=m;i++)     b=a;

for ( j=1;j<=k;j++)

{   for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)

{   r=(i<a[0]?a+b:a)+carry;

a=r%10;

carry=r/10;

}

if (carry) a[++m]=carry;

}

free(b);

a[0]=m;

}

void write(int *a,int k)

{   int i;

printf(“%4d！=”,k);

for (i=a[0];i>0;i--)

printf(“%d”,a);

printf(“\n\n”);

}

void main()

{   int a[MAXN],n,k;

printf(“Enter the number n: “);

scanf(“%d”,&n);

a[0]=1;

a[1]=1;

write(a,1);

for (k=2;k<=n;k++)

{   pnext(a,k);

write(a,k);

getchar();

}

}

QUOTE:

四、遞歸

遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。

能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解。

【問題】   編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。

斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib(1)=1;

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)     （當(dāng)n>1時(shí)）。

寫成遞歸函數(shù)有：

int fib(int n)

{   if (n==0)     return 0;

if (n==1)     return 1;

if (n>1)     return fib(n-1)+fib(n-2);

}

遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。

在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。

在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問題”層時(shí)，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡(jiǎn)單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。

由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。

【問題】   組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：   （1）5、4、3     （2）5、4、2     （3）5、4、1

（4）5、3、2     （5）5、3、1     （6）5、2、1

（7）4、3、2     （8）4、3、1     （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a[ ]中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。

【程序】

# include  

# define   MAXN   100

int   a[MAXN];

void   comb(int m,int k)

{   int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{   a[k]=i;

if (k>1)

comb(i-1,k-1);

else

{   for (j=a[0];j>0;j--)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“\n”);

}

}

}

void main()

{   a[0]=3;

comb(5,3);

}

【問題】   背包問題

問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。

設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。

對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

（1）   考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。

（2）   考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。

按以上思想寫出遞歸算法如下：

try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv)

{   /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if(包含物品i是可以接受的)

{   將物品i包含在當(dāng)前方案中；

if (i<n-1)

try(i+1,tw+物品i的重量,tv);

else

/*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/

以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;

恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (不包含物品i僅是可男考慮的)

if (i<n-1)

try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)；

else

/*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;

}

為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見表：

物品   0   1   2   3

重量   5   3   2   1

價(jià)值   4   4   3   1

并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。

按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：

【程序】

# include  

# define   N   100

double   limitW,totV,maxV;

int   option[N],cop[N];

struct   {   double   weight;

double   value;

}a[N];

int   n;

void find(int i,double tw,double tv)

{   int k;

/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{   cop=1;

if (i<n-1)  ="" find(i+1,tw+a.weight,tv);=""

else

{   for (k=0;k<n;k++)

option[k]=cop[k];

maxv=tv;

}

cop=0;

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i<n-1)  ="" find(i+1,tw,tv-a.value);=""

else

{   for (k=0;k<n;k++)

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

}

}

void main()

{   int k;

double w,v;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);

for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

{   scanf(“%1f%1f”,&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V;

}

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitV);

maxv=0.0;

for (k=0;k<n;k++)  ="" cop[k]="0;"

find(0,0.0,totV);

for (k=0;k<n;k++)

if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);

}

作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品。

【程序】

# include  

# define   N   100

double   limitW;

int   cop[N];

struct   ele   {   double   weight;

double   value;

} a[N];

int   k,n;

struct   {   int     flg;

double   tw;

double   tv;

}twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{   twv.flg=1;

twv.tw=tw;

twv.tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{   int i,k,f;

double maxv,tw,tv,totv;

maxv=0;

for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

totv+=a[k].value;

next(0,0.0,totv);

i=0;

While (i>=0)

{   f=twv.flg;

tw=twv.tw;

tv=twv.tv;

switch(f)

{   case 1:   twv.flg++;

if (tw+a.weight<=limitW)

if (i<n-1)

{   next(i+1,tw+a.weight,tv);

i++;

}

else

{   maxv=tv;

for (k=0;k<n;k++)

cop[k]=twv[k].flg!=0;

}

break;

case 0:   i--;

break;

default:   twv.flg=0;

if (tv-a.value>maxv)

if (i<n-1)

{   next(i+1,tw,tv-a.value);

i++;

}

else

{   maxv=tv-a.value;

for (k=0;k<n;k++)

cop[k]=twv[k].flg!=0;

}

break;

}

}

return maxv;

}

void main()

{   double maxv;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitW);

printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值\n”);

for (k=0;k<n;k++)

scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);

maxv=find(a,n);

printf(“\n選中的物品為\n”);

for (k=0;k<n;k++)

if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價(jià)值為%.2f\n”,maxv);

}

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[1 樓] | Posted:2006-07-27 15:52|

[刷新] 資料 短消息 QQ資料 引用回復(fù) 編輯

QUOTE:

五、回溯法

回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。

1、回溯法的一般描述

可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。

解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。

我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們。回溯法正是針對(duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。

回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：

設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，…，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，…，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。

因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。

在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P的一個(gè)解。

【問題】   組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。

例如n=5，r=3的所有組合為：  

（1）1、2、3     （2）1、2、4     （3）1、2、5

（4）1、3、4     （5）1、3、5     （6）1、4、5

（7）2、3、4     （8）2、3、5     （9）2、4、5

（10）3、4、5

則該問題的狀態(tài)空間為：

E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 }   其中：S={1，2，3，4，5}

約束集為：   x1<x2<x3

顯然該約束集具有完備性。

2、回溯法的方法

對(duì)于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：

從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過對(duì)肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個(gè)滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對(duì)以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。

在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時(shí)，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時(shí)也要進(jìn)行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過為止。

例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時(shí)，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時(shí)，由于它已是葉子結(jié)點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技術(shù)

在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：

在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過程。

例如在組合問題中，我們用一個(gè)一維數(shù)組Stack[ ]表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時(shí)如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時(shí)可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個(gè)解，輸出（或保存）。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。

【問題】   組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1，2，…，n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。

采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：

（1）   a[i+1]>a，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大；

（2）   a-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：

首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a[2]上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1]，這時(shí)，a[1]=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時(shí)，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：

【程序】

# define   MAXN   100

int a[MAXN];

void comb(int m,int r)

{   int i,j;

i=0;

a=1;

do {

if (a-i<=m-r+1

{   if (i==r-1)

{   for (j=0;j<r;j++)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“\n”);

}

a++;

continue;

}

else

{   if (i==0)

return;

a[--i]++;

}

}   while (1)

}

main()

{   comb(5,3);

}

【問題】   填字游戲

問題描述：在3×3個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N≥10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法。

可用試探發(fā)找到問題的解，即從第一個(gè)方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個(gè)合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。

為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個(gè)整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對(duì)當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個(gè)滿足問題要求的解，將解輸出。

回溯法找一個(gè)解的算法：

{   int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok)   擴(kuò)展;

else     調(diào)整;

ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性;

}   while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

if (m!=0)   輸出解;

else     輸出無解報(bào)告；

}

如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個(gè)解。相應(yīng)的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

{   int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok)  

{   if (m==n)  

{   輸出解；

調(diào)整；

}

else   擴(kuò)展;

}

else     調(diào)整;

ok=檢查前m個(gè)整數(shù)填放的合理性;

}   while (m!=0);

}

為了確保程序能夠終止，調(diào)整時(shí)必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會(huì)再次實(shí)驗(yàn)，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個(gè)被檢驗(yàn)的順序，按這個(gè)順序逐一形成候選者并檢驗(yàn)。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時(shí)，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時(shí)，找當(dāng)前候選解中下一個(gè)還未被使用過的整數(shù)。將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗(yàn)都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序。

【程序】

# include

# define   N   12

void write(int a[ ])

{   int i,j;

for (i=0;i<3;i++)

{   for (j=0;j<3;j++)

printf(“%3d”,a[3*i+j]);

printf(“\n”);

}

scanf(“%*c”);

}

int b[N+1];

int a[10];

int isprime(int m)

{   int i;

int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

if (m==1||m%2=0)   return 0;

for (i=0;primes>0;i++)

if (m==primes)   return 1;

for (i=3;i*i<=m;)

{   if (m%i==0)   return 0;

i+=2;

}

return 1;

}

int checkmatrix[ ][3]={   {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)

{   int j;

for (j=start;j<=N;j++)

if (b[j]) return j

return 0;

}

int check(int pos)

{   int i,j;

if (pos<0)     return 0;

for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++)

if (!isprime(a[pos]+a[j])

return 0;

return 1;

}

int extend(int pos)

{   a[++pos]=selectnum(1);

b[a][pos]]=0;

return pos;

}

int change(int pos)

{   int j;

while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

b[a[pos--]]=1;

if (pos<0)     return –1

b[a[pos]]=1;

a[pos]=j;

b[j]=0;

return pos;

}

void find()

{   int ok=0,pos=0;

a[pos]=1;

b[a[pos]]=0;

do {

if (ok)

if (pos==8)

{   write(a);

pos=change(pos);

}

else   pos=extend(pos);

else   pos=change(pos);

ok=check(pos);

}   while (pos>=0)

}

void main()

{   int i;

for (i=1;i<=N;i++)

b=1;

find();

}

【問題】   n皇后問題

問題描述：求出在一個(gè)n×n的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所有布局。

這是來源于國(guó)際象棋的一個(gè)問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“×”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。

1   2   3   4   5   6   7   8

×       ×    

×     ×     ×      

×   ×   ×        

×   ×   Q   ×   ×   ×   ×   ×

×   ×   ×        

×     ×     ×      

×       ×    

×         ×  

從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。

求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下：

{   輸入棋盤大小值n；

m=0;

good=1;

do {

if (good)

if (m==n)

{   輸出解；

改變之，形成下一個(gè)候選解;

}

else   擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；

else   改變之，形成下一個(gè)候選解；

good=檢查當(dāng)前候選解的合理性；

} while (m!=0);

}

在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col[ ]），值col表示在棋盤第i列、col行有一個(gè)皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。

為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：

（1）   數(shù)組a[ ]，a[k]表示第k行上還沒有皇后；

（2）   數(shù)組b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；

（3）   數(shù)組 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；

棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。

初始時(shí)，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時(shí)，在數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]中為第m列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]對(duì)應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：

【程序】

# include  

# include  

# define   MAXN   20

int n,m,good;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()

{   int j;

char awn;

printf(“Enter n:   “);   scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++)   a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++)   cb[j]=c[j]=1;

m=1;   col[1]=1;     good=1;   col[0]=0;

do {

if (good)

if (m==n)

{   printf(“列\(zhòng)t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’)   exit(0);

while (col[m]==n)

{   m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

else

{   a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;

col[++m]=1;

}

else

{   while (col[m]==n)

{   m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];

} while (m!=0);

}

試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個(gè)解。

【程序】

# include  

# include  

# define   MAXN   20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()

{   int j;

printf(“Enter n:   “);   scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++)   a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++)   cb[j]=c[j]=1;

queen_all(1,n);

}

void queen_all(int k,int n)

{   int i,j;

char awn;

for (i=1;i<=n;i++)

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{   col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n)

{   printf(“列\(zhòng)t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’)   exit(0);

}

queen_all(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i];

}

}

采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對(duì)當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。

【程序】

# define   MAXN   20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

int queen_one(int k,int n)

{   int i,found;

i=found=0;

While (!found&&i<n)

{   i++;

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{   col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n)   return 1;

else

found=queen_one(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i]=1;

}

}

return found;

}

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[2 樓] | Posted:2006-07-27 15:53|

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QUOTE:

六、貪婪法

貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。

例如平時(shí)購物找錢時(shí)，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時(shí)才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因?yàn)殂y行對(duì)其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個(gè)11單位面值的硬幣和4個(gè)1單位面值的硬幣，共找回5個(gè)硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個(gè)5單位面值的硬幣。

【問題】   裝箱問題

問題描述：裝箱問題可簡(jiǎn)述如下：設(shè)有編號(hào)為0、1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V，即對(duì)于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。

若考察將n種物品的集合分劃成n個(gè)或小于n個(gè)物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對(duì)適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費(fèi)的時(shí)間是無法承受的。為此，對(duì)裝箱問題采用非常簡(jiǎn)單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個(gè)能放進(jìn)去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不滿足上述要求，只要先對(duì)這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排序結(jié)果對(duì)物品重新編號(hào)即可。裝箱算法簡(jiǎn)單描述如下：

{   輸入箱子的容積；

輸入物品種數(shù)n；

按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；

預(yù)置已用箱子鏈為空；

預(yù)置已用箱子計(jì)數(shù)器box_count為0；

for (i=0;i<n;i++)

{   從已用的第一只箱子開始順序?qū)ふ夷芊湃胛锲穒 的箱子j；

if （已用箱子都不能再放物品i）

{   另用一個(gè)箱子，并將物品i放入該箱子；

box_count++；

}

else

將物品i放入箱子j；

}

}

上述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個(gè)單位體積。按上述算法計(jì)算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。

若每只箱子所裝物品用鏈表來表示，鏈表首結(jié)點(diǎn)指針存于一個(gè)結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。以下是按以上算法編寫的程序。

【程序】

# include  

# include  

typedef struct ele

{   int vno;

struct ele *link;

}   ELE;

typedef struct hnode

{   int remainder;

ELE *head;

Struct hnode *next;

}   HNODE;

void main()

{   int n, i, box_count, box_volume, *a;

HNODE *box_h, *box_t, *j;

ELE   *p, *q;

Printf(“輸入箱子容積\n”);

Scanf(“%d”,&box_volume);

Printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

Scanf(“%d”,&n);

A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

Printf(“請(qǐng)按體積從大到小順序輸入各物品的體積：”);

For (i=0;i<n;i++)  ="" scanf(“%d”,a+i);=""

Box_h=box_t=NULL;

Box_count=0;

For (i=0;i<n;i++)

{   p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));

p->vno=i;

for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)

if (j->remainder>=a)   break;

if (j==NULL)

{   j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));

j->remainder=box_volume-a;

j->head=NULL;

if (box_h==NULL)     box_h=box_t=j;

else   box_t=boix_t->next=j;

j->next=NULL;

box_count++;

}

else   j->remainder-=a;

for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);

if (q==NULL)

{   p->link=j->head;

j->head=p;

}

else

{   p->link=NULL;

q->link=p;

}

}

printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);

printf(“各箱子裝物品情況如下：”);

for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)

{   printf(“第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；\n”,I,j->remainder);

for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)

printf(“%4d”,p->vno+1);

printf(“\n”);

}

}

【問題】   馬的遍歷

問題描述：在8×8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。

馬在某個(gè)方格，可以在一步內(nèi)到達(dá)的不同位置最多有8個(gè)，如圖所示。如用二維數(shù)組board[ ][ ]表示棋盤，其元素記錄馬經(jīng)過該位置時(shí)的步驟號(hào)。另對(duì)馬的8種可能走法（稱為著法）設(shè)定一個(gè)順序，如當(dāng)前位置在棋盤的（i，j）方格，下一個(gè)可能的位置依次為（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），實(shí)際可以走的位置盡限于還未走過的和不越出邊界的那些位置。為便于程序的同意處理，可以引入兩個(gè)數(shù)組，分別存儲(chǔ)各種可能走法對(duì)當(dāng)前位置的縱橫增量。

4     3  

5         2

馬    

6         1

7     0  

對(duì)于本題，一般可以采用回溯法，這里采用Warnsdoff策略求解，這也是一種貪婪法，其選擇下一出口的貪婪標(biāo)準(zhǔn)是在那些允許走的位置中，選擇出口最少的那個(gè)位置。如馬的當(dāng)前位置（i，j）只有三個(gè)出口，他們是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分別走到這些位置，這三個(gè)位置又分別會(huì)有不同的出口，假定這三個(gè)位置的出口個(gè)數(shù)分別為4、2、3，則程序就選擇讓馬走向（i-2，j+1）位置。

由于程序采用的是一種貪婪法，整個(gè)找解過程是一直向前，沒有回溯，所以能非常快地找到解。但是，對(duì)于某些開始位置，實(shí)際上有解，而該算法不能找到解。對(duì)于找不到解的情況，程序只要改變8種可能出口的選擇順序，就能找到解。改變出口選擇順序，就是改變有相同出口時(shí)的選擇標(biāo)準(zhǔn)。以下程序考慮到這種情況，引入變量start，用于控制8種可能著法的選擇順序。開始時(shí)為0，當(dāng)不能找到解時(shí)，就讓start增1，重新找解。細(xì)節(jié)以下程序。

【程序】

# include  

int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};

int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};

int board[8][8];

int exitn(int i,int j,int s,int a[ ])

{   int i1,j1,k,count;

for (count=k=0;k<8;k++)

{   i1=i+delta_i[(s+k)%8];

j1=i+delta_j[(s+k)%8];

if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0)

a[count++]=(s+k)%8;

}

return count;

}

int next(int i,int j,int s)

{   int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;

m=exitn(i,j,s,a);

if (m==0)     return –1;

for (min=9,k=0;k<m;k++)

{   temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b);

if (temp<min)

{   min=temp;

kk=a[k];

}

}

return kk;

}

void main()

{   int sx,sy,i,j,step,no,start;

for (sx=0;sx<8;sx++)

for (sy=0;sy<8;sy++)

{   start=0;

do {

for (i=0;i<8;i++)

for (j=0;j<8;j++)

board[j]=0;

board[sx][sy]=1;

I=sx;   j=sy;

For (step=2;step<64;step++)

{   if ((no=next(i,j,start))==-1)   break;

I+=delta_i[no];

j+=delta_j[no];

board[j]=step;

}

if (step>64)   break;

start++;

} while(step<=64)

for (i=0;i<8;i++)

{   for (j=0;j<8;j++)

printf(“%4d”,board[j]);

printf(“\n\n”);

}

scanf(“%*c”);

}

}

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[3 樓] | Posted:2006-07-27 15:54|

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QUOTE:

七、分治法

1、分治法的基本思想

任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。

分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。

如果原問題可分割成k個(gè)子問題（1<k≤n），且這些子問題都可解，并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對(duì)孿生兄弟，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。

2、分治法的適用條件

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：

（1）該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；

（2）該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；

（3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；

（4）該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。

上述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。

3、分治法的基本步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：

（1）分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；

（2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題；

（3）合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解。

它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：

Divide_and_Conquer（P）

if |P|≤n0

then return（ADHOC（P））

將P分解為較小的子問題P1、P2、…、Pk

for i←1 to k

do

yi ← Divide-and-Conquer（Pi）       △ 遞歸解決Pi

T ← MERGE（y1，y2，…，yk）         △ 合并子問題

Return（T）

其中 |P| 表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過n0時(shí)，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC（P）是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過n0時(shí)，直接用算法ADHOC（P）求解。

算法MERGE（y1，y2，…，yk）是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1、P2、…、Pk的相應(yīng)的解y1、y2、…、yk合并為P的解。

根據(jù)分治法的分割原則，原問題應(yīng)該分為多少個(gè)子問題才較適宜？各個(gè)子問題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問題很難予以肯定的回答。但人們從大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計(jì)算法時(shí)，最好使子問題的規(guī)模大致相同。換句話說，將一個(gè)問題分成大小相等的k個(gè)子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取k=2。這種使子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。

分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問題的合并方法比較明顯，有些問題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒有統(tǒng)一的模式，需要具體問題具體分析。

【問題】   大整數(shù)乘法

問題描述：

通常，在分析一個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)，都將加法和乘法運(yùn)算當(dāng)作是基本運(yùn)算來處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運(yùn)算所需的計(jì)算時(shí)間當(dāng)作一個(gè)僅取決于計(jì)算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。

這個(gè)假定僅在計(jì)算機(jī)硬件能對(duì)參加運(yùn)算的整數(shù)直接表示和處理時(shí)才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很大的整數(shù)，它無法在計(jì)算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點(diǎn)數(shù)來表示它，則只能近似地表示它的大小，計(jì)算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計(jì)算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，就必須用軟件的方法來實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算。

設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計(jì)算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算乘積XY的算法，但是這樣做計(jì)算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個(gè)1位數(shù)的乘法或加法看作一步運(yùn)算，那么這種方法要作O(n2)步運(yùn)算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來設(shè)計(jì)一個(gè)更有效的大整數(shù)乘積算法。

圖6-3 大整數(shù)X和Y的分段

我們將n位的二進(jìn)制整數(shù)X和Y各分為2段，每段的長(zhǎng)為n/2位（為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)n是2的冪），如圖6-3所示。

由此，X=A2n/2+B，Y=C2n/2+D。這樣，X和Y的乘積為：

XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD   （1）

如果按式（1）計(jì)算XY，則我們必須進(jìn)行4次n/2位整數(shù)的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過n位的整數(shù)加法（分別對(duì)應(yīng)于式（1）中的加號(hào)），此外還要做2次移位（分別對(duì)應(yīng)于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有這些加法和移位共用O（n）步運(yùn)算。設(shè)T（n）是2個(gè)n位整數(shù)相乘所需的運(yùn)算總數(shù)，則由式（1），我們有：

（2）

由此可得T（n）=O（n2）。因此，用（1）式來計(jì)算X和Y的乘積并不比小學(xué)生的方法更有效。要想改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜性，必須減少乘法次數(shù)。為此我們把XY寫成另一種形式：

XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD       （3）

雖然，式（3）看起來比式（1）復(fù)雜些，但它僅需做3次n/2位整數(shù)的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、減法和2次移位。由此可得：

（4）

用解遞歸方程的套用公式法馬上可得其解為T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。利用式（3），并考慮到X和Y的符號(hào)對(duì)結(jié)果的影響，我們給出大整數(shù)相乘的完整算法MULT如下：

function MULT(X，Y，n); {X和Y為2個(gè)小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}

begin

S=SIGN(X)*SIGN(Y); {S為X和Y的符號(hào)乘積}

X=ABS(X);

Y=ABS(Y); {X和Y分別取絕對(duì)值}

if n=1 then

if (X=1)and(Y=1) then return(S)

else return(0)

else begin

A=X的左邊n/2位;

B=X的右邊n/2位;

C=Y的左邊n/2位;

D=Y的右邊n/2位;

ml=MULT(A,C,n/2);

m2=MULT(A-B,D-C,n/2);

m3=MULT(B,D,n/2);

S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);

return(S);

end;

end;

上述二進(jìn)制大整數(shù)乘法同樣可應(yīng)用于十進(jìn)制大整數(shù)的乘法以提高乘法的效率減少乘法次數(shù)。

【問題】   最接近點(diǎn)對(duì)問題

問題描述：

在應(yīng)用中，常用諸如點(diǎn)、圓等簡(jiǎn)單的幾何對(duì)象代表現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)體。在涉及這些幾何對(duì)象的問題中，常需要了解其鄰域中其他幾何對(duì)象的信息。例如，在空中交通控制問題中，若將飛機(jī)作為空間中移動(dòng)的一個(gè)點(diǎn)來看待，則具有最大碰撞危險(xiǎn)的2架飛機(jī)，就是這個(gè)空間中最接近的一對(duì)點(diǎn)。這類問題是計(jì)算幾何學(xué)中研究的基本問題之一。下面我們著重考慮平面上的最接近點(diǎn)對(duì)問題。

最接近點(diǎn)對(duì)問題的提法是：給定平面上n個(gè)點(diǎn)，找其中的一對(duì)點(diǎn)，使得在n個(gè)點(diǎn)的所有點(diǎn)對(duì)中，該點(diǎn)對(duì)的距離最小。

嚴(yán)格地說，最接近點(diǎn)對(duì)可能多于1對(duì)。為了簡(jiǎn)單起見，這里只限于找其中的一對(duì)。

這個(gè)問題很容易理解，似乎也不難解決。我們只要將每一點(diǎn)與其他n-1個(gè)點(diǎn)的距離算出，找出達(dá)到最小距離的兩個(gè)點(diǎn)即可。然而，這樣做效率太低，需要O(n2)的計(jì)算時(shí)間。我們能否找到問題的一個(gè)O (nlogn)算法。

這個(gè)問題顯然滿足分治法的第一個(gè)和第二個(gè)適用條件，我們考慮將所給的平面上n個(gè)點(diǎn)的集合S分成2個(gè)子集S1和S2，每個(gè)子集中約有n/2個(gè)點(diǎn)，然后在每個(gè)子集中遞歸地求其最接近的點(diǎn)對(duì)。在這里，一個(gè)關(guān)鍵的問題是如何實(shí)現(xiàn)分治法中的合并步驟，即由S1和S2的最接近點(diǎn)對(duì)，如何求得原集合S中的最接近點(diǎn)對(duì)，因?yàn)镾1和S2的最接近點(diǎn)對(duì)未必就是S的最接近點(diǎn)對(duì)。如果組成S的最接近點(diǎn)對(duì)的2個(gè)點(diǎn)都在S1中或都在S2中，則問題很容易解決。但是，如果這2個(gè)點(diǎn)分別在S1和S2中，則對(duì)于S1中任一點(diǎn)p，S2中最多只有n/2個(gè)點(diǎn)與它構(gòu)成最接近點(diǎn)對(duì)的候選者，仍需做n2/4次計(jì)算和比較才能確定S的最接近點(diǎn)對(duì)。因此，依此思路，合并步驟耗時(shí)為O(n2)。整個(gè)算法所需計(jì)算時(shí)間T(n)應(yīng)滿足：

T(n)=2T(n/2)+O(n2)

它的解為T(n)=O(n2)，即與合并步驟的耗時(shí)同階，顯示不出比用窮舉的方法好。從解遞歸方程的套用公式法，我們看到問題出在合并步驟耗時(shí)太多。這啟發(fā)我們把注意力放在合并步驟上。

為了使問題易于理解和分析，我們先來考慮一維的情形。此時(shí)S中的n個(gè)點(diǎn)退化為x軸上的n個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、…、xn。最接近點(diǎn)對(duì)即為這n個(gè)實(shí)數(shù)中相差最小的2個(gè)實(shí)數(shù)。我們顯然可以先將x1、x2、…、xn排好序，然后，用一次線性掃描就可以找出最接近點(diǎn)對(duì)。這種方法主要計(jì)算時(shí)間花在排序上，因此如在排序算法中所證明的，耗時(shí)為O(nlogn)。然而這種方法無法直接推廣到二維的情形。因此，對(duì)這種一維的簡(jiǎn)單情形，我們還是嘗試用分治法來求解，并希望能推廣到二維的情形。

假設(shè)我們用x軸上某個(gè)點(diǎn)m將S劃分為2個(gè)子集S1和S2，使得S1={x∈S | x≤m}；S2={x∈S | x>m}。這樣一來，對(duì)于所有p∈S1和q∈S2有p<q。

遞歸地在S1和S2上找出其最接近點(diǎn)對(duì){p1，p2}和{q1，q2}，并設(shè)δ=min{|p1-p2|，|q1-q2|}，S中的最接近點(diǎn)對(duì)或者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某個(gè){p3，q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如圖1所示。

圖1 一維情形的分治法

我們注意到，如果S的最接近點(diǎn)對(duì)是{p3，q3}，即 | p3-q3 | < δ，則p3和q3兩者與m的距離不超過δ，即 | p3-m | < δ，| q3-m | < δ，也就是說，p3∈(m-δ，m)，q3∈(m，m+δ)。由于在S1中，每個(gè)長(zhǎng)度為δ的半閉區(qū)間至多包含一個(gè)點(diǎn)（否則必有兩點(diǎn)距離小于δ），并且m是S1和S2的分割點(diǎn)，因此(m-δ，m)中至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。同理，(m，m+δ)中也至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。由圖1可以看出，如果(m-δ，m)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S1中最大點(diǎn)。同理，如果(m，m+δ)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S2中最小點(diǎn)。因此，我們用線性時(shí)間就能找到區(qū)間(m-δ，m)和(m，m+δ)中所有點(diǎn)，即p3和q3。從而我們用線性時(shí)間就可以將S1的解和S2的解合并成為S的解。也就是說，按這種分治策略，合并步可在O(n)時(shí)間內(nèi)完成。這樣是否就可以得到一個(gè)有效的算法了呢？

還有一個(gè)問題需要認(rèn)真考慮，即分割點(diǎn)m的選取，及S1和S2的劃分。選取分割點(diǎn)m的一個(gè)基本要求是由此導(dǎo)出集合S的一個(gè)線性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1 {x | x≤m}；S2 {x | x>m}。容易看出，如果選取m=[max（S）+min（S）]/2，可以滿足線性分割的要求。選取分割點(diǎn)后，再用O(n)時(shí)間即可將S劃分成S1={x∈S | x≤m}和S2={x∈S | x>m}。然而，這樣選取分割點(diǎn)m，有可能造成劃分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最壞情況下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此產(chǎn)生的分治法在最壞情況下所需的計(jì)算時(shí)間T（n）應(yīng)滿足遞歸方程：

T（n）=T（n-1）+O（n）

它的解是T（n）=O（n2）。這種效率降低的現(xiàn)象可以通過分治法中“平衡子問題”的方法加以解決。也就是說，我們可以通過適當(dāng)選擇分割點(diǎn)m，使S1和S2中有大致相等個(gè)數(shù)的點(diǎn)。自然地，我們會(huì)想到用S的n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的中位數(shù)來作分割點(diǎn)。在選擇算法中介紹的選取中位數(shù)的線性時(shí)間算法使我們可以在O（n）時(shí)間內(nèi)確定一個(gè)平衡的分割點(diǎn)m。

至此，我們可以設(shè)計(jì)出一個(gè)求一維點(diǎn)集S中最接近點(diǎn)對(duì)的距離的算法pair如下。

Float pair（S）;

{   if | S | =2   δ= | x[2]－x[1] |     /*x[1..n]存放的是S中n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)*/

else

{   if ( | S | =1)   δ=∞

else

{   m=S中各點(diǎn)的坐標(biāo)值的中位數(shù);

構(gòu)造S1和S2，使S1={x∈S | x≤m}，S2={x∈S | x＞m};

δ1=pair(S1);

δ2=pair(S2);

p=max(S1);

q=min(S2);

δ=min(δ1，δ2，q-p);

}

return(δ);

}

由以上的分析可知，該算法的分割步驟和合并步驟總共耗時(shí)O(n)。因此，算法耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間T(n)滿足遞歸方程：

解此遞歸方程可得T(n)=O(nlogn)。

【問題】循環(huán)賽日程表

問題描述：設(shè)有n=2k個(gè)運(yùn)動(dòng)員要進(jìn)行網(wǎng)球循環(huán)賽?，F(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下要求的比賽日程表：

（1）每個(gè)選手必須與其他n-1個(gè)選手各賽一次；

（2）每個(gè)選手一天只能參賽一次；

（3）循環(huán)賽在n-1天內(nèi)結(jié)束。

請(qǐng)按此要求將比賽日程表設(shè)計(jì)成有n行和n-1列的一個(gè)表。在表中的第i行，第j列處填入第i個(gè)選手在第j天所遇到的選手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。

按分治策略，我們可以將所有的選手分為兩半，則n個(gè)選手的比賽日程表可以通過n/2個(gè)選手的比賽日程表來決定。遞歸地用這種一分為二的策略對(duì)選手進(jìn)行劃分，直到只剩下兩個(gè)選手時(shí)，比賽日程表的制定就變得很簡(jiǎn)單。這時(shí)只要讓這兩個(gè)選手進(jìn)行比賽就可以了。

1   2   3   4   5   6   7

1   2   3   4   5   6   7   8

2   1   4   3   6   7   8   5

3   4   1   2   7   8   5   6

1   2   3         4   3   2   1   8   5   6   7

1   2   3   4         5   6   7   8   1   4   3   2

1         2   1   4   3         6   5   8   7   2   1   4   3

1   2         3   4   1   2         7   8   5   6   3   2   1   4

2   1         4   3   2   1         8   7   6   5   4   3   2   1

（1）           （2）                   （3）

圖1 2個(gè)、4個(gè)和8個(gè)選手的比賽日程表

圖1所列出的正方形表（3）是8個(gè)選手的比賽日程表。其中左上角與左下角的兩小塊分別為選手1至選手4和選手5至選手8前3天的比賽日程。據(jù)此，將左上角小塊中的所有數(shù)字按其相對(duì)位置抄到右下角，又將左下角小塊中的所有數(shù)字按其相對(duì)位置抄到右上角，這樣我們就分別安排好了選手1至選手4和選手5至選手8在后4天的比賽日程。依此思想容易將這個(gè)比賽日程表推廣到具有任意多個(gè)選手的情形。

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[4 樓] | Posted:2006-07-27 15:56|

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八、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法

經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜問題不能簡(jiǎn)單地分解成幾個(gè)子問題，而會(huì)分解出一系列的子問題。簡(jiǎn)單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時(shí)會(huì)按問題規(guī)模呈冪級(jí)數(shù)增加。

為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時(shí)間，引入一個(gè)數(shù)組，不管它們是否對(duì)最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中，這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實(shí)例說明動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的使用。

【問題】   求兩字符序列的最長(zhǎng)公共字符子序列

問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個(gè)字符（可能一個(gè)也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個(gè)嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列，使得對(duì)所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個(gè)子序列。

給定兩個(gè)序列A和B，稱序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。問題要求已知兩序列A和B的最長(zhǎng)公共子序列。

如采用列舉A的所有子序列，并一一檢查其是否又是B的子序列，并隨時(shí)記錄所發(fā)現(xiàn)的子序列，最終求出最長(zhǎng)公共子序列。這種方法因耗時(shí)太多而不可取。

考慮最長(zhǎng)公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長(zhǎng)公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：

（1）   如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；

（2）   如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；

（3）   如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊(yùn)涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列。

這樣，在找A和B的公共子序列時(shí)，如有am-1=bn-1，則進(jìn)一步解決一個(gè)子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個(gè)子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列，再取兩者中較長(zhǎng)者作為A和B的最長(zhǎng)公共子序列。

定義c[j]為序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度，計(jì)算c[j]可遞歸地表述如下：

（1）c[j]=0               如果i=0或j=0；

（2）c[j]= c[i-1][j-1]+1         如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；

（3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]）   如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。

按此算式可寫出計(jì)算兩個(gè)序列的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度函數(shù)。由于c[j]的產(chǎn)生僅依賴于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1]，故可以從c[m][n]開始，跟蹤c[j]的產(chǎn)生過程，逆向構(gòu)造出最長(zhǎng)公共子序列。細(xì)節(jié)見程序。

# include

# include

# define   N   100

char a[N],b[N],str[N];

int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])

{   int m=strlen(a),   n=strlen(b), i,j;

for (i=0;i<=m;i++)     c[0]=0;

for (i=0;i<=n;i++)     c[0]=0;

for (i=1;i<=m;i++)  

for (j=1;j<=m;j++)

if (a[i-1]==b[j-1])

c[j]=c[i-1][j-1]+1;

else   if (c[i-1][j]>=c[j-1])

c[j]=c[i-1][j];

else

c[j]=c[j-1];

return c[m][n];

}

char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)

{   int k, i=strlen(a), j=strlen(b);

k=lcs_len(a,b,c);

s[k]=’\0’;

while (k>0)

if (c[j]==c[i-1][j])   i--;

else   if (c[j]==c[j-1])   j--;

else   {   s[--k]=a[i-1];

i--;   j--;

}

return s;

}

void main()

{   printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);

scanf(“%s%s”,a,b);

printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));

}

1、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的適用條件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定條件，它就失去了作用。同樣，動(dòng)態(tài)規(guī)劃也并不是萬能的。適用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題必須滿足最優(yōu)化原理和無后效性。

（1）最優(yōu)化原理（最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）

最優(yōu)化原理可這樣闡述：一個(gè)最優(yōu)化策略具有這樣的性質(zhì)，不論過去狀態(tài)和決策如何，對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)而言，余下的諸決策必須構(gòu)成最優(yōu)策略。簡(jiǎn)而言之，一個(gè)最優(yōu)化策略的子策略總是最優(yōu)的。一個(gè)問題滿足最優(yōu)化原理又稱其具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

圖2

例如圖2中，若路線I和J是A到C的最優(yōu)路徑，則根據(jù)最優(yōu)化原理，路線J必是從B到C的最優(yōu)路線。這可用反證法證明：假設(shè)有另一路徑J’是B到C的最優(yōu)路徑，則A到C的路線取I和J’比I和J更優(yōu)，矛盾。從而證明J’必是B到C的最優(yōu)路徑。

最優(yōu)化原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)，任何問題，如果失去了最優(yōu)化原理的支持，就不可能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法計(jì)算。根據(jù)最優(yōu)化原理導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程是解決一切動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的基本方法。

（2）無后向性

將各階段按照一定的次序排列好之后，對(duì)于某個(gè)給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無法直接影響它未來的決策，而只能通過當(dāng)前的這個(gè)狀態(tài)。換句話說，每個(gè)狀態(tài)都是過去歷史的一個(gè)完整總結(jié)。這就是無后向性，又稱為無后效性。

（3）子問題的重疊性

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余，這是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的根本目的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是一種以空間換時(shí)間的技術(shù)，它在實(shí)現(xiàn)的過程中，不得不存儲(chǔ)產(chǎn)生過程中的各種狀態(tài)，所以它的空間復(fù)雜度要大于其它的算法。選擇動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法是因?yàn)閯?dòng)態(tài)規(guī)劃算法在空間上可以承受，而搜索算法在時(shí)間上卻無法承受，所以我們舍空間而取時(shí)間。

所以，能夠用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決的問題還有一個(gè)顯著特征：子問題的重疊性。這個(gè)性質(zhì)并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果該性質(zhì)無法滿足，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢(shì)。

2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想

前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時(shí)推導(dǎo)出來的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說，只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問題實(shí)例分解為更小的、相似的子問題，并存儲(chǔ)子問題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。

由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。其中貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問題是獨(dú)立的（即不包含公共的子子問題），因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。但不足的是，如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時(shí)，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。

解決上述問題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨(dú)立，（亦即各子問題可包含公共的子子問題）也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對(duì)每一個(gè)子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。

因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問題有一個(gè)顯著的特征，即它所對(duì)應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必重新求解。

3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟

設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行：

（1）劃分階段：按照問題的時(shí)間或空間特征，把問題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的（即無后向性），否則問題就無法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。

（2）選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。

（3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實(shí)上，我們常常是反過來做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。

（4）寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。

一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：

標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架

1. 對(duì)fn+1(xn+1)初始化;   {邊界條件}

for k:=n downto 1 do

for 每一個(gè)xk∈Xk do

for 每一個(gè)uk∈Uk(xk) do

begin

5.         fk(xk):=一個(gè)極值;           {∞或－∞}

6.         xk+1:=Tk(xk,uk);             {狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程}

7.         t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk));     {基本方程(9)式}

if t比fk(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; {計(jì)算fk(xk)的最優(yōu)值}

end;

9. t:=一個(gè)極值;                     {∞或－∞}

for 每一個(gè)x1∈X1 do

11.   if f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1);     {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}

12. 輸出t;

但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。

（2）遞歸地定義最優(yōu)值。

（3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。

（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。

步驟（1）～（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解。

【問題】   凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題

問題描述：多邊形是平面上一條分段線性的閉曲線。也就是說，多邊形是由一系列首尾相接的直線段組成的。組成多邊形的各直線段稱為該多邊形的邊。多邊形相接兩條邊的連接點(diǎn)稱為多邊形的頂點(diǎn)。若多邊形的邊之間除了連接頂點(diǎn)外沒有別的公共點(diǎn)，則稱該多邊形為簡(jiǎn)單多邊形。一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形將平面分為3個(gè)部分：被包圍在多邊形內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的內(nèi)部；多邊形本身構(gòu)成多邊形的邊界；而平面上其余的點(diǎn)構(gòu)成了多邊形的外部。當(dāng)一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形及其內(nèi)部構(gòu)成一個(gè)閉凸集時(shí)，稱該簡(jiǎn)單多邊形為凸多邊形。也就是說凸多邊形邊界上或內(nèi)部的任意兩點(diǎn)所連成的直線段上所有的點(diǎn)均在該凸多邊形的內(nèi)部或邊界上。

通常，用多邊形頂點(diǎn)的逆時(shí)針序列來表示一個(gè)凸多邊形，即P=表示具有n條邊v0v1，v1v2，…，vn-1vn的一個(gè)凸多邊形，其中，約定v0=vn 。

若vi與vj是多邊形上不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，則線段vivj稱為多邊形的一條弦。弦將多邊形分割成凸的兩個(gè)子多邊形和。多邊形的三角剖分是一個(gè)將多邊形分割成互不重迭的三角形的弦的集合T。圖1是一個(gè)凸多邊形的兩個(gè)不同的三角剖分。

(a)   (b)

圖1 一個(gè)凸多邊形的2個(gè)不同的三角剖分

在凸多邊形P的一個(gè)三角剖分T中，各弦互不相交且弦數(shù)已達(dá)到最大，即P的任一不在T中的弦必與T中某一弦相交。在一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的凸多邊形的三角刮分中，恰好有n-3條弦和n-2個(gè)三角形。

凸多邊形最優(yōu)三角剖分的問題是：給定一個(gè)凸多邊形P=以及定義在由多邊形的邊和弦組成的三角形上的權(quán)函數(shù)ω。要求確定該凸多邊形的一個(gè)三角剖分，使得該三角剖分對(duì)應(yīng)的權(quán)即剖分中諸三角形上的權(quán)之和為最小。

可以定義三角形上各種各樣的權(quán)函數(shù)ω。例如：定義ω(△vivjvk)=| vivj |+| vivk |+| vkvj |，其中，| vivj |是點(diǎn)vi到vj的歐氏距離。相應(yīng)于此權(quán)函數(shù)的最優(yōu)三角剖分即為最小弦長(zhǎng)三角剖分。

（1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)

凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。事實(shí)上，若凸（n+1）邊形P=的一個(gè)最優(yōu)三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，則T的權(quán)為3個(gè)部分權(quán)的和，即三角形v0vkvn的權(quán)，子多邊形的權(quán)和的權(quán)之和。可以斷言由T所確定的這兩個(gè)子多邊形的三角剖分也是最優(yōu)的，因?yàn)槿粲谢虻母?quán)的三角剖分，將會(huì)導(dǎo)致T不是最優(yōu)三角剖分的矛盾。

（2）最優(yōu)三角剖分對(duì)應(yīng)的權(quán)的遞歸結(jié)構(gòu)

首先，定義t[i，j]（1≤i<j≤n）為凸子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對(duì)應(yīng)的權(quán)值，即最優(yōu)值。為方便起見，設(shè)退化的多邊形具有權(quán)值0。據(jù)此定義，要計(jì)算的凸（n+1）邊多邊形P對(duì)應(yīng)的權(quán)的最優(yōu)值為t[1，n]。

t[i，j]的值可以利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)遞歸地計(jì)算。由于退化的2頂點(diǎn)多邊形的權(quán)值為0，所以t[i，i]=0，i=1，2，…，n 。當(dāng)j一i≥1時(shí)，子多邊形至少有3個(gè)頂點(diǎn)。由最優(yōu)于結(jié)構(gòu)性質(zhì)，t[i，j]的值應(yīng)為t[i，k]的值加上t[k+1，j]的值，再加上△vi-1vkvj的權(quán)值，并在i≤k≤j-1的范圍內(nèi)取最小。由此，t[i，j]可遞歸地定義為：

（3）計(jì)算最優(yōu)值

下面描述的計(jì)算凸（n+1）邊形P=的三角剖分最優(yōu)權(quán)值的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法MINIMUM_WEIGHT，輸入是凸多邊形P=的權(quán)函數(shù)ω，輸出是最優(yōu)值t[i，j]和使得t[i，k]+t[k+1，j]+ω（△vi-1vkvj）達(dá)到最優(yōu)的位置（k=）s[i，j]，1≤i≤j≤n 。

Procedure MINIMUM_WEIGHT(P，w)；

Begin

n=length[p]-1;

for i=1 to n do t[i,i]:=0;

for ll=2 to n do

for i=1 to n-ll+1 do

begin

j=i+ll-1;

t[i,j]=∞;

for k=i to j-1 do

begin

q=t[i,k]+t[k+1,j]+ω(△vi-1vkvj);

if q<t[i,j] then=""

begin

t[i,j]=q;

s[i,j]=k;

end;

end;

end;

return(t,s);

end;

算法MINIMUM_WEIGHT_占用θ(n2)空間，耗時(shí)θ(n3)。

（4）構(gòu)造最優(yōu)三角剖分

如我們所看到的，對(duì)于任意的1≤i≤j≤n ，算法MINIMUM_WEIGHT在計(jì)算每一個(gè)子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對(duì)應(yīng)的權(quán)值t[i，j]的同時(shí)，還在s[i，j]中記錄了此最優(yōu)三角剖分中與邊（或弦）vi-1vj構(gòu)成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的位置。因此，利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)并借助于s[i，j]，1≤i≤j≤n ，凸（n+l）邊形P=的最優(yōu)三角剖分可容易地在Ο(n)時(shí)間內(nèi)構(gòu)造出來。

習(xí)題：

1、汽車加油問題：

設(shè)有路程長(zhǎng)度為L(zhǎng)公里的公路上，分布著m個(gè)加油站，它們的位置分別為p（i=1，2，……，m），而汽車油箱加滿油后（油箱最多可以加油k升），可以行駛n公里。設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使汽車經(jīng)過此公路的加油次數(shù)盡量少（汽車出發(fā)時(shí)是加滿油的）。

2、最短路徑：

設(shè)有一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，要求從某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到其他頂點(diǎn)的最短路徑

3、跳馬問題：

在8*8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。

4、二叉樹的遍歷

5、背包問題

6、用分治法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)大整數(shù)相乘

7、設(shè)x1，x2，…，xn是直線上的n個(gè)點(diǎn)，若要用單位長(zhǎng)度的閉區(qū)間去覆蓋這n個(gè)點(diǎn)，至少需要多少個(gè)這樣的單位閉區(qū)間？

8、用關(guān)系“＜”和“＝”將3個(gè)數(shù)A、B和C依次排列時(shí)，有13種不同的序關(guān)系：

A＝B＝C，A＝B＜C，A＜B＝C，A＜B＜C，A＜C＜B，A＝C＜B，B＜A＝C，

B＜A＜C，B＜C＜A，B＝C＜A，C＜A＝B，C＜A＜B，C＜A＜B。

若要將n個(gè)數(shù)依序進(jìn)行排列，試設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，計(jì)算出有多少鐘不同的序關(guān)系。

9、有一種單人玩的游戲：設(shè)有n(2<=n<=200)堆薄片，各堆順序用0至 n-1編號(hào)，極端情況，有的堆可能沒有薄片。在游戲過程中，一次移動(dòng)只能取某堆上的若干張薄片，移到該堆的相鄰堆上。如指定

I堆k張 k 移到I-1(I>0)堆，和將k 張薄片移至I+1(I<n-1)堆。所以當(dāng)有兩個(gè)堆與 i="" 堆相鄰="" 時(shí)，i堆原先至少有2k="" 張薄片；只有一個(gè)堆與="" 時(shí)，="" 堆原先至少有k張薄片。=""

游戲的目標(biāo)是對(duì)給定的堆數(shù)，和各堆上的薄片數(shù)，按上述規(guī)則移動(dòng)薄片，最終使 各堆的薄片數(shù)相同。為了使移動(dòng)次數(shù)較少些，移動(dòng)哪一堆薄片，和移多少薄片先作以下估算：

設(shè)

ci:I堆的薄片數(shù)(0<=I<n,0<=ci<=200);

v：每堆 的平均薄片數(shù)；

ai:I堆的相鄰堆可以從I堆得到的薄片數(shù)。

估算方法如下：

v=c0+a1-a0       a1=v+a0-c0

v=c1+a0+a2-2a1         a2=v+2a1-a0-c1

……..                     ……….

V=ci+ai-1+ai+1-2aI     ai+1=v+2ai-ai-1-ci

這里并不希望準(zhǔn)確地求出A0 至an-1，而是作以下處理：若令 a0 為0，能按上述算式計(jì)算出 A1至 an-1。程序找出 a 中的最小值，并讓全部a值減去這最小值，使每堆移去的薄片數(shù)大于等于0。

實(shí)際操作采用以下貪心策略：

（1）每次從第一堆出發(fā)順序搜索每一堆，若發(fā)現(xiàn)可從 I堆移走薄片，就完成一次移動(dòng)。即， I堆的相鄰堆從 I堆取走 ai片薄片。可從I 堆移薄片到相鄰堆取于 I堆薄片數(shù)：若I 堆是處于兩端位置( I=0   I=n-1), 要求 ci>=ai ；若 I堆是中間堆，則要求ci>=2ai。

（2）因在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆 在平分過程中被它的相鄰堆取走的薄片數(shù)也最多。在用策略（1）搜索移動(dòng)時(shí)，當(dāng)發(fā)生沒有滿足條件（1）的可移走薄片的堆時(shí)，采用本策略，讓在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆被它的相鄰堆取走它的全部薄片。